QUESTÃO 3: Achar a solução geral da equação diferencial de Bernoulli abaixo. (Valor: 1,0 ponto)
4 x y^prime+3 y=x^4 y^5 e^x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de Bernoulli
4x,y' + 3y = x^4,y^5,e^x
Aqui o conteúdo é resolver uma equação de Bernoulli da forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n

Passo 2

Primeiro dividimos tudo por 4x para colocar na forma padrão:
y' + 34x,y = x^44x,y^5 e^x Longrightarrow y' + 34x,y = x^34,y^5 e^x
Dessa forma identificamos
P(x)=34x, Q(x)=x^34e^x, n=5

Passo 3

Na equação de Bernoulli fazemos a substituição
z = y^1-n = y^-4
Calculamos a derivada de z:
z' = -4,y^-5,y' Longrightarrow y^-5y' = -14,z'

Passo 4

Multiplicamos a forma padrão por y^-5:
y^-5y' + 34x,y^-4 = x^34e^x
Substituindo y^-5y'=-tfrac14z' e y^-4=z obtemos
-14z' + 34x,z = x^34e^x
Multiplicando por -4 resulta na EDO linear em z:
z' - 3x,z = -,x^3,e^x

Passo 5

Para resolver essa linear usamos fator integrante
mu(x) = exp!l(integral -tfrac3x,dxr) = x^-3
Multiplicando a equação por x^-3
l(x^-3zr)' = -e^x
Integramos ambos os lados:
x^-3z = -e^x + C Longrightarrow z = x^3,(C - e^x)

Passo 6

Voltando à variável y, lembrando que z=y^-4, temos
y^-4 = x^3,(C - e^x) Longrightarrow y = l[x^3,(C - e^x)r]^-14

Resposta

y(x) = l[x^3 l(C - e^xr)r]^-14,
onde C é constante arbitrária.

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