A água do mar com uma concentração de 8 \mathrm{~g} \mathrm{sal} / \mathrm{kg} solução é bombeada para um tanque bem misturado a uma vazão de 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}. Assuma que o balanço da solução seja água pura. Por causa de um defeito no trabalho do projeto, a água está evaporando do tanque a uma vazão de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}. A solução salina deixa o tanque a uma vazão de 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{min}.
(a) Se o tanque continha originalmente 1000 kg da solução de entrada, quanto tempo depois de ligar a bemba de saída o tanque secará? Utilize Método de Euler com passo de 20 min e compare com o valor obtide analiticamente pela integração da EDO.
Disa:
Em que Mé a massa de água. tanque, Considere:
\frac{d M}{d t}=q_{\text {in }}-q_{\text {out }}-q_{\text {evap }}
(b) A partir do balanço de massa para o sal, plote o gráfico da concentração de sal, s, durante o tempo usando passo de 20 min até o tempo final obtido na letra (a) para definir qual a concentração final de sal no
s=\frac{m}{M}

Passo 1

O enunciado trata de um tanque bem misturado onde entra água do mar com concentração de sal de 8,g sal/kg solução à vazão q_{\rm in}=10,kg/min. Sai solução salina à vazão q_{\rm out}=10,kg/min e evapora água pura a q_{\rm evap}=0,5,kg/min. Inicialmente há M(0)=1000,kg de solução no tanque.
Conteúdo: EDOs de balanço de massa (solução) e de massa de sal com método de Euler e solução analítica para M(t).

Passo 2

Balanço de massa total de solução dá
\frac{dM}{dt}=q_{\rm in}-q_{\rm out}-q_{\rm evap} =10 - 10 - 0,5 = -0,5 \quad(\text{kg/min})\,.
Integrando analiticamente,
M(t)=1000 - 0,5\,t\,.
O tanque seca quando M(T)=0, logo
1000 - 0,5\,T=0\quad\Longrightarrow\quad T=2000\text{ min.}

Passo 3

Aplicando Euler com passo h=20 min para \frac{dM}{dt}=-0,5:
M_{n+1}=M_n + (-0,5)\,h = M_n - 10\quad(\text{kg})\,,
com M_0=1000. A cada iteração perde-se 10,kg, então em n passos
M_n = 1000 - 10\,n
zera quando n=100, dando t=100\cdot20=2000,min. O método de Euler fornece exatamente o mesmo valor que a solução analítica.

Passo 4

Balanço de massa de sal: seja m(t) em g. A vazão de entrada de sal é
10\;(\mathrm{kg/min})\times 8\;(\mathrm{g/kg}) = 80\;\mathrm{g/min}\,.
Sai sal na solução de concentração s(t)=m/M, à vazão de solução 10,kg/min, removendo 10\,s (g/min). Como a evaporação não leva sal,
\frac{dm}{dt} =80 - 10\;\frac{m}{M(t)}\,.
No método de Euler:
m_{n+1} = m_n + \Bigl[80 - 10\,\frac{m_n}{M_n}\Bigr]\,h,
e a concentração em cada passo é
s_n=\frac{m_n}{M_n}\quad(\mathrm{g/kg}).

Passo 5

Para gerar o gráfico de s versus t até t=2000 min:
  1. Inicializar t_0=0, M_0=1000, m_0=1000\cdot8=8000 g.
  2. Para n=0,1,\dots,99:
  • t_{n+1}=t_n+20.
  • M_{n+1}=M_n-10.
  • m_{n+1}=m_n+[80-10\,(m_n/M_n)]\,20.
  • s_{n+1}=m_{n+1}/M_{n+1}.
  1. Plotar (t_n,s_n).
O resultado mostra s(t) crescendo lentamente no início e disparando à medida que M_n se aproxima de zero.

Resposta

(a) O tanque seca em T=2000,min, tanto analiticamente quanto pelo método de Euler com passo de 20 min.
(b) A curva de concentração s(t) obtida por Euler é crescente e tende a infinito quando t\to2000,min, isto é, a concentração final de sal no tanque diverge.

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