Calcule as transformadas de Laplace usando a definição.
Calcule as transformadas de Laplace abaixo.
\mathcal{L}\left\{2 e^{-3 t} t^{4}+e^{2 t-7} t^{2} \sin ^{2}(t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=2e^{-3t}t^{4}+e^{2t-7}\,t^{2}\sin^{2}(t).
O conteúdo necessário é:
  1. A definição linear da transformada de Laplace
  2. O teorema de deslocamento no domínio de s para exponenciais
  3. A fórmula
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}
  1. A identidade trigonométrica \sin^{2}(t)=\tfrac{1-\cos(2t)}{2}
  2. A propriedade de derivação em s:
\mathcal{L}\{t^{2}g(t)\}=\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl[\mathcal{L}\{g(t)\}(s)\bigr].

Passo 2

Calculamos primeiro \mathcal{L}\{2e^{-3t}t^{4}\}.
Pela linearidade,
\mathcal{L}\{2e^{-3t}t^{4}\} =2\,\mathcal{L}\{e^{-3t}t^{4}\}.
Pelo teorema de deslocamento,
\mathcal{L}\{e^{-3t}t^{4}\}(s) =\mathcal{L}\{t^{4}\}(s+3) =\frac{4!}{(s+3)^{5}} =\frac{24}{(s+3)^{5}}.
Logo,
\mathcal{L}\{2e^{-3t}t^{4}\} =\frac{48}{(s+3)^{5}}.

Passo 3

Agora \mathcal{L}\{e^{2t-7}t^{2}\sin^{2}(t)\}.
Fatoramos e^{-7} e aplicamos deslocamento:
\mathcal{L}\{e^{2t-7}t^{2}\sin^{2}(t)\} =e^{-7}\,\mathcal{L}\{e^{2t}t^{2}\sin^{2}(t)\} =e^{-7}\,H(s-2),
onde definimos
H(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\sin^{2}(t)\}(s).

Passo 4

Calculamos H(s) usando \sin^{2}(t)=\tfrac{1-\cos(2t)}{2}:
H(s) =\mathcal{L}\Bigl\{\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr\} -\mathcal{L}\Bigl\{\tfrac{t^{2}\cos(2t)}{2}\Bigr\} =\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{t^{2}\} -\frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{t^{2}\cos(2t)\}.
Sabemos \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}, logo o primeiro termo é 1/s^{3}.
Para o segundo,
\mathcal{L}\{t^{2}\cos(2t)\} =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\Bigl[\frac{s}{s^{2}+4}\Bigr] =\frac{2s^{3}-24s}{(s^{2}+4)^{3}}.
Assim,
H(s) =\frac{1}{s^{3}} -\frac{1}{2}\,\frac{2s^{3}-24s}{(s^{2}+4)^{3}} =\frac{1}{s^{3}} -\frac{s^{3}-12s}{(s^{2}+4)^{3}}.

Passo 5

Voltando ao deslocamento s\to s-2 e ao fator e^{-7},
\mathcal{L}\{e^{2t-7}t^{2}\sin^{2}(t)\} =e^{-7}\,H(s-2) =e^{-7}\Bigl[ \frac{1}{(s-2)^{3}} -\frac{(s-2)^{3}-12(s-2)}{\bigl((s-2)^{2}+4\bigr)^{3}} \Bigr].

Resposta

\boxed{ \mathcal{L}\{2e^{-3t}t^{4}+e^{2t-7}t^{2}\sin^{2}(t)\} =\frac{48}{(s+3)^{5}} +e^{-7}\Biggl[ \frac{1}{(s-2)^{3}} -\frac{(s-2)^{3}-12(s-2)}{\bigl((s-2)^{2}+4\bigr)^{3}} \Biggr]. }

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