A concentração química do fluxo de saída para um reator de mistura completa é medida como
t, \mathrm{~min} 0 2 4 6 8 12 16 20
c, \mathrm{mg} / \mathrm{m}^{3} 10 20 30 40 60 72 70 50
Para um fluxo de saída de \mathrm{Q}=12 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, obtenha uma estimativa da massa M de composto químico, em gramas, que sai do reator entre t=0 e 20 min . Considere a formula, com Q constante:
M=Q \int_{t_{1}}^{t_{2}} c d t

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com a concentração c(t) do efluente (em \mathrm{mg/m^3}) em função do tempo t (em minutos) e diz que o fluxo de saída é constante, Q=12\\ \mathrm{m^3/s}. Queremos estimar a massa total de composto que sai entre t_1=0 e t_2=20 min usando
M = Q \int_{t_1}^{t_2} c(t)\,dt.
Conteúdo aplicado: integração numérica (regra dos trapézios) e atenção a unidades.

Passo 2

Convém trabalhar com Q em \mathrm{m^3/min} para casar com t em minutos. Como
1\\ \mathrm{min} = 60\\ \mathrm{s},
temos
Q = 12\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{s}} =12\times60\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{min}} =720\\ \frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{min}}.

Passo 3

Vamos aplicar a regra dos trapézios sobre os subintervalos dados pela tabela para aproximar \displaystyle \int_{0}^{20}c(t)\,dt.
Para cada par (t_i,c_i)\to(t_{i+1},c_{i+1}), a área aproximada é
\frac{c_i+c_{i+1}}{2}\,\Delta t_i.
Cálculo dos trechos:
\begin{aligned} 0\to2:&\\ \Delta t=2,\\ \frac{10+20}{2}\cdot2=30,\\\\ 2\to4:&\\\ 2,\\ \frac{20+30}{2}\cdot2=50,\\\\ 4\to6:&\\\ 2,\\ \frac{30+40}{2}\cdot2=70,\\\\ 6\to8:&\\\ 2,\\ \frac{40+60}{2}\cdot2=100,\\\\ 8\to12:&\\\ 4,\\ \frac{60+72}{2}\cdot4=264,\\\\ 12\to16:&\\\ 4,\\ \frac{72+70}{2}\cdot4=284,\\\\ 16\to20:&\\\ 4,\\ \frac{70+50}{2}\cdot4=240. \end{aligned}
Somando,
\int_{0}^{20}c(t)\,dt \approx 30+50+70+100+264+284+240 =1038\quad\text{(unidade: }\mathrm{mg/m^3}\cdot\mathrm{min}\text{).}

Passo 4

Agora calculamos a massa em miligramas e convertemos para gramas:
M \;=\; Q\;\Bigl(\!\int_{0}^{20}c\,dt\Bigr) =720\;\frac{\mathrm{m^3}}{\mathrm{min}}\times1038\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{m^3}}\cdot\mathrm{min} =747360\\ \mathrm{mg}.
Em gramas,
M = \frac{747360\\ \mathrm{mg}}{1000} =747{,}36\\ \mathrm{g}.

Resposta

M\approx7{,}47\times10^2\\ \mathrm{g}.

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