Resolva os problemas de valor inicial
t^{3} \frac{d y}{d t}+4 t^{2} y=e^{-t}, \quad t<0 \quad \text { sujeita à } y(-1)=0à

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
t^{3}\frac{dy}{dt}+4t^{2}y=e^{-t},\quad t<0,\quad y(-1)=0.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
\frac{dy}{dt}+p(t)\,y=q(t),
usar fator integrante e depois impor a condição inicial.

Passo 2

Dividindo tudo por t^{3} (válido pois t<0\neq0) obtemos
\frac{dy}{dt}+\frac{4}{t}y=\frac{e^{-t}}{t^{3}}.
Logo
p(t)=\frac{4}{t}, \qquad q(t)=\frac{e^{-t}}{t^{3}}.
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int \frac{4}{t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(4\ln|t|\bigr) =t^{4},
onde usamos |t|=-t mas ({-t})^{4}=t^{4}.

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por \mu(t)=t^{4}, fica
t^{4}\frac{dy}{dt}+4t^{3}y =t^{4}\cdot\frac{e^{-t}}{t^{3}} =t\,e^{-t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de t^{4}y, pois
\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}y\bigr) =t^{4}\frac{dy}{dt}+4t^{3}y.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}y\bigr)=t\,e^{-t}.

Passo 4

Integramos em t:
t^{4}y =\int t\,e^{-t}\,dt + C.
Para \displaystyle\int t e^{-t}dt usamos partes u=t, dv=e^{-t}dt:
\int t e^{-t}dt =-t e^{-t}-e^{-t} =-(t+1)e^{-t}.
Assim
t^{4}y=-(t+1)e^{-t}+C \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{-(t+1)e^{-t}+C}{t^{4}}.

Passo 5

Impondo y(-1)=0, temos
0 =\frac{-((-1)+1)e^{-(-1)}+C}{(-1)^{4}} =\frac{0+ C}{1} =C.
Logo C=0 e a solução fica
y(t)=-\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\quad t<0.

Resposta

y(t)=-\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\quad t<0.

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