Resolva os problemas de valor inicial
y^{\prime}+y=x ; \quad y(0)=4

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' + y = x,\quad y(0)=4.
É uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocando no formato padrão y' + P(x)\,y = Q(x), identificamos
P(x)=1,\quad Q(x)=x.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 1\,dx} = e^{x}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
e^{x}y' + e^{x}y = x\,e^{x}.
O lado esquerdo equivale à derivada de e^{x}y, pois
(e^{x}y)' = e^{x}y' + e^{x}y.
Logo a equação fica
(e^{x}y)' = x\,e^{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int (e^{x}y)' \,dx = \int x\,e^{x} \,dx.
No lado esquerdo surge e^{x}y e, no direito, calculamos a integral por partes.

Passo 5

Para \int x\,e^{x}\,dx, escolhemos
u = x,\quad dv = e^{x}\,dx,\quad du = dx,\quad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula de partes:
\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x} + C.

Passo 6

Voltando à expressão geral:
e^{x}y = x\,e^{x} - e^{x} + C
e isolando y:
y = x - 1 + C\,e^{-x}.

Passo 7

Usamos a condição inicial y(0)=4. Substituindo x=0 em y = x - 1 + C\,e^{-x}:
4 = 0 - 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 5.
Assim, a solução do problema de valor inicial é
y(x) = x - 1 + 5\,e^{-x}.

Resposta

y(x) = x - 1 + 5\,e^{-x}.

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