A água em A possui uma temperatura de 15^circ C e escoa pela superfície da placa C. O perfil de velocidade é aproximadamente com uA=10 sin (2,5 pi y) m / s, onde y está em metros. Abaixo da placa, a água em B tem uma temperatura de 60^circ C e um perfil de velocidade de uB=4(10^3)(0,1 y-y^2), onde y está em metros. Determine a força resultante por unidade de comprimento da placa C que o fluxo exerce sobre a placa devido ao atrito viscoso. A placa possui 3 metros de largura.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão é a seguinte: temos uma placa C vertical, com água fluindo paralelamente às suas duas faces. De um lado (região A) a água está a 15 °C e tem perfil de velocidade
uA(y)=10sin(2,5pi y),m/s,
e do outro (região B) a água está a 60 °C com
uB(y)=4times10^3l(0,1,y - y^2r),m/s
A placa tem 3 m de “largura” (ou seja, extensão no sentido perpendicular ao plano do desenho). O que a gente quer é a força resultante (devida ao atrito viscoso) que o fluxo exerce na placa, por unidade de comprimento (no sentido paralelo ao escoamento).
Matéria: Mecânica dos Fluidos – lei de Newton para fluido newtoniano (tensão de cisalhamento na parede)
O que vamos precisar:
  1. Calcular a derivada do perfil de velocidade em y=0 (parede) nos dois lados.
  2. Usar a lei de viscosidade: tauw=mududy|y=0
    3) Somar as tensões de cada lado e multiplicar pela largura (3 m).

Passo 2

Primeiro, entenda a teoria: para um fluido newtoniano (como água), a tensão de cisalhamento na parede vale
tauw=mu;dudyem y=0,
onde mu é a viscosidade dinâmica (para água, vamos usar mu=1,0times10^-3,Pacdot s, valor típico a temperatura ambiente) e du/dy é a derivada da componente de velocidade paralela à placa, avaliada bem na parede.

Passo 3

Vamos achar duAdy|y=0 e duBdy|y=0:
Para uA(y)=10sin(2,5pi y),
$$\frac{du_A}{dy}=10\cdot(2{,}5\pi)\cos(2{,}5\pi y)
=25\pi\cos(2{,}5\pi y). duAdy=10cdot(2,5pi)cos(2,5pi y) =25picos(2,5pi y)\left.\frac{du_A}{dy}\right|_{0}=25\pi\quad(\mathrm{s^{-1}}).$$
Para y=0,
cos(0)=1
Em duAdy|0=25pi(s^-1), dá
uB(y)=4times10^3,(0,1y - y^2)

Passo 4

Agora calculamos as tensões de cisalhamento (em Pa) nos dois lados:
tauA=mu,duAdy|0 =1,0times10^-3times25pi =25pitimes10^-3approx0,0785;Pa,
tauB=mu,duBdy|0 =1,0times10^-3times400 =0,400;Pa
A tensão total que o fluido “puxa” na placa é a soma (os dois lados contribuem no mesmo sentido):
$$\tau_{\rm total}=\tau_A+\tau_B
\approx0{,}0785+0{,}400=0{,}4785;\mathrm{Pa}. taurm total=tauA+tauB approx0,0785+0,400=0,4785;PaçãF’=\tau_{\rm total}\times3
\approx0{,}4785\times3=1{,}4355;\mathrm{N/m}.$$

Resposta

A força resultante por unidade de comprimento da placa é aproximadamente
boxed1,44;N/m

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