Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?
sumn=1^infty(-1)^n-1 n e^-n (| erro |<0,01)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty(-1)^n-1n,e^-n
é convergente e, em seguida, determinar quantos termos precisamos somar para que a soma parcial difira da soma verdadeira em menos de 0,01. O conteúdo envolvido é o Critério da Série Alternada de Leibniz e o estimador de resto associado, que diz que, para uma série alternada com termos positivos an decrescentes a zero, vale
l|RNr| = l|S - SNr| <= aN+1

Passo 2

Definimos an = n,e^-n. Para aplicar o Critério de Leibniz, precisamos de duas condições:
  1. limntoinftyan=0.
  2. A sequência an é eventualmentedecresecente.
Para o primeiro ponto, observe que
limntoinftyn,e^-n = limntoinftyne^n=0
pois o exponencial cresce muito mais rápido que n.
Para o segundo ponto, considere a função contínua
f(x)=x,e^-x, x>0
Derivando,
f'(x)=e^-x(1-x)
Temos f'(x)<0 para x>1, ou seja, f é decrescente em x>=2. Logo, para n>=2, an é decrescente. Isso garante a convergência pela Série Alternada de Leibniz.

Passo 3

Pelo estimador de resto da Série Alternada, o erro ao truncar após N termos satisfaz
l|S - SNr| <= aN+1 = (N+1),e^-(N+1)
Queremos (N+1)e^-(N+1)<0,01.

Passo 4

Testamos valores inteiros de k=N+1:
k=5colon 5e^-5approx5cdot0,0067=0,0335>0,01
k=6colon 6e^-6approx6cdot0,00248=0,0149>0,01
k=7colon 7e^-7approx7cdot0,00091=0,00637<0,01.
Portanto, o menor k que satisfaz a desigualdade é k=7, ou seja, N+1=7 e logo N=6.

Resposta

Precisamos somar 6 termos para garantir que o erro seja menor que 0,01.

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