Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente e, em seguida, determinar quantos termos precisamos somar para que a soma parcial difira da soma verdadeira em menos de . O conteúdo envolvido é o Critério da Série Alternada de Leibniz e o estimador de resto associado, que diz que, para uma série alternada com termos positivos decrescentes a zero, vale
Passo 2
Definimos an = n,e^-n. Para aplicar o Critério de Leibniz, precisamos de duas condições:
limntoinftyan=0.
A sequência an é eventualmentedecresecente.
Para o primeiro ponto, observe que
limntoinftyn,e^-n = limntoinftyne^n=0
pois o exponencial cresce muito mais rápido que n.
Para o segundo ponto, considere a função contínua
f(x)=x,e^-x, x>0
Derivando,
f'(x)=e^-x(1-x)
Temos f'(x)<0 para x>1, ou seja, f é decrescente em x>=2. Logo, para n>=2, an é decrescente. Isso garante a convergência pela Série Alternada de Leibniz.
Passo 3
Pelo estimador de resto da Série Alternada, o erro ao truncar após N termos satisfaz