O equipamento de destilação em batelada composto de um tanque de vaporização, uma coluna de 02 pratos, condensador total com refluxo líquido saturado operando a 1 atm deve separar uma solução aquosa de metanol. A coluna opera com variação da razão de refluxo e \mathrm{x}_{\mathrm{D}} é mantido constante igual a 85 \% molar de metanol. A carga inicial é igual a 10 kgmoles com 40% molar de metanol. Desejando uma concentração final de metanol no vaporizador de 8 \% molar, determine:
a) A razão de refluxo externa inicial que deve ser usada;
b) A razão de refluxo externa final do processo e
c) A quantidade de produto de topo produzido e a quantidade de líquido no vaporizador no final do processo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tomei estes dados diretamente do texto do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Carga inicial: n_F = 10 \text{kmol} (carga no vaporizador/retorta).
  • Composição inicial de metanol na carga: x_F = 0{,}40 (fração molar).
  • Composição desejada (final) de metanol no líquido do vaporizador: x_W = 0{,}08 (fração molar).
  • Composição constante do produto de topo (distilado) mantida durante o processo: x_D = 0{,}85 (fração molar).
  • Coluna com condensador total e refluxo líquido saturado operando a 1\\ \text{atm}.
  • A coluna tem “02 pratos” (dois pratos teóricos) — esse dado é relevante para determinar quantas etapas existem na seção rectificadora e, portanto, é usado para calcular a razão de refluxo necessária através do método de McCabe–Thiele, mas sozinho não é suficiente para obter números sem a curva de equilíbrio.
O enunciado pede:
a) A razão de refluxo externa inicial que deve ser usada;
b) A razão de refluxo externa final do processo;
c) A quantidade de produto de topo produzido e a quantidade de líquido no vaporizador no final do processo.
Observação importante (necessária para a resolução das partes a e b):
  • Para determinar numericamente a razão de refluxo (inicial e final) é imprescindível conhecer a curva de equilíbrio vapor–líquido do sistema metanol–água à pressão de operação (ou uma relação de volatilidade relativa constante \alpha, ou uma tabela VLE, ou expressão y=f(x)). Sem esses dados de equilíbrio não é possível calcular numericamete a razão de refluxo requerida para que, num arranjo com 2 pratos, o destilado tenha composição fixa x_D enquanto o líquido na retorta evolui de x_F para x_W.
  • A parte (c) (quantidade total de produto e líquido remanescente) depende apenas do balanço global de matéria e pode ser determinada diretamente com os dados fornecidos.

Passo 2

Princípio físico e equações que vou usar para a parte (c) (aulas rápidas e passo-a-passo para você entender e poder refazer na prova):
Conservação da matéria (balanço global de componente) para o sistema batch (sem reações químicas) diz que, ao final do processo:
\text{(mols de metanol na carga)} = \text{(mols de metanol no reator final)} + \text{(mols de metanol no distilado total)}.
Formalmente, usando notação:
  • n_F = moles totais iniciais (aqui \,10\\ \text{kmol}\,),
  • x_F = fração molar de metanol na carga inicial,
  • n_W = moles totais de líquido que restam no vaporizador no final,
  • x_W = fração molar de metanol no líquido final (dado desejado),
  • n_D = moles totais de produto de topo acumulado (distilado total),
  • x_D = fração molar de metanol no distilado (mantido constante).
Balanço total de moles (conservação da quantidade total de matéria):
n_F = n_W + n_D.
Balanço de metanol:
n_F x_F = n_W x_W + n_D x_D.
Essas duas equações são suficientes para determinar n_D e n_W algebraicamente. É uma técnica padrão: eliminar n_W usando a primeira equação e resolver para n_D.
Passo a passo algébrico:
  1. Da equação de balanço total: n_W = n_F - n_D.
  2. Substituir na equação do metanol:
n_F x_F = (n_F - n_D) x_W + n_D x_D.
  1. Reorganizar para isolar n_D:
n_F x_F = n_F x_W - n_D x_W + n_D x_D
n_F x_F - n_F x_W = n_D (x_D - x_W)
n_D = \dfrac{n_F (x_F - x_W)}{x_D - x_W}.
Essa expressão é muito útil e intuitiva: a quantidade de componente retirada depende da diferença entre o conteúdo inicial e final, escalada pela pureza do destilado em relação ao líquido final.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números do enunciado (faça as contas na prova do mesmo modo, sem calculadora complexa: multiplicações e divisões simples):
Dados numéricos:
n_F = 10\\ \text{kmol},\quad x_F = 0{,}40,\quad x_W = 0{,}08,\quad x_D = 0{,}85.
Calcular n_D:
n_D = \dfrac{10\cdot(0{,}40-0{,}08)}{0{,}85-0{,}08} = \dfrac{10\cdot 0{,}32}{0{,}77}.
Agora a divisão:
\dfrac{0{,}32}{0{,}77} \approx 0{,}4155844156\quad(\text{faça a aproximação aritmética: }0{,}32/0{,}77).ççãé
n_D \approx 10 \times 0{,}4155844156 = 4{,}155844156\\ \text{kmol}.
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais ou conforme necessidade da prova):
n_D \approx 4{,}156\\ \text{kmol}.
Calcular n_W (moles de líquido restantes no vaporizador no final):
n_W = n_F - n_D = 10 - 4{,}155844156 = 5{,}844155844\\ \text{kmol}
n_W \approx 5{,}844\\ \text{kmol}.
Interpretação rápida: desses 10 \text{kmol} iniciais, cerca de 4{,}156\\ \text{kmol} são condensados e retirados como produto de topo à composição 85\% de metanol, enquanto cerca de 5{,}844\\ \text{kmol} continuam no vaporizador com 8\% de metanol.

Passo 4

Explicação didática e procedimento para determinar as razões de refluxo (partes a e b) caso você tenha os dados de equilíbrio — isso é o que se faria na prova se a curva VLE ou a volatilidade relativa \alpha fossem fornecidas.
Conceitos-chave:
  • Definição de razão de refluxo externo (reflux ratio): \displaystyle R = \dfrac{L}{D}, onde L é a molaridade do refluxo líquido enviado de volta à coluna e D é a produção de topo (taxa instantânea). No contexto de batch com controle para manter x_D constante, o reflux pode ser ajustado no tempo (vai variar conforme a composição do líquido na retorta).
  • Linha de operação da seção rectificadora (coluna com condensador total) para reflux constante:
y = \frac{R}{R+1}\,x + \frac{x_D}{R+1}.
Aqui y é a composição molar do vapor sobre o prato superior (ou do vapor que entra no condensador) e x a composição do líquido nesse prato. Para equilíbrio, y e x obedecem à curva de equilíbrio y = f(x) do sistema VLE.
  • Método de McCabe–Thiele (gráfico): para um dado R e x_D desenha-se a linha de operação acima e contra-balança com a curva de equilíbrio; as “degraus” entre a linha de operação e a curva de equilíbrio representam as etapas teóricas. Para um número fixo de pratos (aqui 2), escolhe-se R tal que, a partir de x_D, após N=2 degraus se alcance x_W.
  • Procedimento numérico/iterativo (se quiser resolver com rigor):
    1. Obter a curva y=f(x) (tabela VLE, equação de Antoine + Raoult/gestão de atividade e fugacidade, ou volatilidade relativa \alpha).
    2. Fixar x_D.
    3. Fazer um chute para R.
    4. Usando a linha de operação y=(R/(R+1))x + x_D/(R+1) e a curva de equilíbrio, executar os passos de McCabe–Thiele: partindo do ponto (x_D,x_D) na diagonal, traçar vertical até a curva de equilíbrio, horizontal até a linha de operação, vertical novamente, etc., e contar quantos passos (estágios) são necessários para chegar ao ponto cujo x é x_W.
    5. Ajustar R (por iteração) até que o número de degraus seja igual ao número de pratos disponíveis (aqui 2) quando se chega em x_W. Esse valor de R é o requerido para que a coluna, com 2 pratos, produza destilado com x_D enquanto o líquido na retorta cai até x_W.
  • Observação: no batch real, o reflux pode ser reduzido ao longo do tempo para economizar energia, mantendo x_D constante; então existem valores de R associados ao início (quando o líquido na retorta é rico em metanol) e ao final (quando o líquido está pobre). Esses valores dependem diretamente da curva de equilíbrio.
Fórmula alternativa (quando a volatilidade relativa \alpha é assumida constante):
  • Para uma volatilidade relativa constante \alpha, o equilíbrio pode ser escrito como
y = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}.
Nesse caso é possível resolver numericamente (ou às vezes analiticamente) a condição de número finito de estágios para encontrar R. Mesmo assim, é um procedimento numérico: escolher R, traçar etapas e ajustar até que N=2.
Resumo prático: sem a curva de equilíbrio ou \alpha, não há número possível a ser fornecido para R (inicial ou final). Se você me fornecer:
  • uma tabela x vs y (VLE) a 1\\ \text{atm}, ou
  • uma expressão para y=f(x), ou
  • um valor aproximado de volatilidade relativa \alpha constante para o intervalo de composição relevante,
posso calcular numericamente as razões de refluxo inicial e final seguindo exatamente o procedimento de McCabe–Thiele (mostrando os passos) e fornecendo os valores de R.

Passo 5

Conclusão prática para a sua revisão de prova:
  • A parte (c) é completamente determinada apenas pelo balanço material e já está resolvida numericamente (veja Passo 3). Isso é bom: é uma conta direta que você pode fazer rápido na prova.
  • As partes (a) e (b) exigem dados de equilíbrio. Sem a curva VLE (ou \alpha), qualquer número para R seria um palpite. Na prova, normalmente a curva ou \alpha é fornecida; com ela eu seguiria o procedimento do Passo 4 (McCabe–Thiele, passos e iteração) e calcularia R inicial (com x inicial do vaporizador igual a x_F) e R final (com x do vaporizador igual a x_W), explicitando todos os cálculos.
Se você quiser, mande uma tabela VLE metanol–água (ou uma expressão de \alpha) e eu calculo as razões de refluxo iniciais e finais passo a passo, desenhando os passos de McCabe–Thiele numericamente e mostrando como achar R.

Resposta

a) Não é possível determinar numericamente a razão de refluxo externa inicial por falta dos dados de equilíbrio vapor–líquido (curva VLE ou volatilidade relativa) necessários para aplicar McCabe–Thiele.
b) Não é possível determinar numericamente a razão de refluxo externa final pelo mesmo motivo (falta de dados de equilíbrio).
c) Quantidade de produto de topo produzido: 4{,}155844156\\ \text{kmol}\approx 4{,}156\\ \text{kmol}. Quantidade de líquido no vaporizador no final: 5{,}844155844\\ \text{kmol}\approx 5{,}844\\ \text{kmol}.

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