Uma águia voa a 100 metros por minuto sob um caminho em forma da hélice
r(t)=(250 \cos (t), 250 \operatorname{sen}(t), 100 t)
O quanto ela voou em metros após 10 minutos?

Passo 1

O enunciado dá a trajetória helicoidal da águia
r(t) = \bigl(250\cos(t),\,250\sin(t),\,100t\bigr)
com t em minutos, e pede a distância percorrida em 10 minutos.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva parametrizada, que se calcula por
L = \int_{0}^{10} \bigl\|r'(t)\bigr\|\;dt.

Passo 2

Calculamos a derivada
r'(t) = \bigl(-250\sin(t),\,250\cos(t),\,100\bigr).
O módulo é
\bigl\|r'(t)\bigr\| = \sqrt{(-250\sin t)^{2} + (250\cos t)^{2} + 100^{2}} = \sqrt{250^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t) + 10000} = \sqrt{62500 + 10000} = \sqrt{72500} = 50\sqrt{29},
que é constante.

Passo 3

Como \|r'(t)\|=50\sqrt{29} não depende de t,
L = \int_{0}^{10} 50\sqrt{29}\;dt = 50\sqrt{29}\times(10-0) = 500\sqrt{29}.

Resposta

500\sqrt{29} metros.

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