Uma partícula segue a trajetória x(t)=\frac{1}{4} t^{3}+2 t, y(t)=20 t-t^{2}, com t em segundos e a distância em centímetros.
(a) Qual é a altura máxima da partícula?
(b) Quando a partícula atinge o chão e a que distância da origem ela pousa?

Passo 1

O enunciado dá a trajetória paramétrica de uma partícula
x(t)=\frac{1}{4}t^{3}+2t,
y(t)=20t-t^{2},
com t em segundos e distâncias em centímetros. Pede-se (a) a altura máxima atingida pela partícula e (b) o instante em que ela retorna ao chão ( y=0) e a distância horizontal x correspondente. Para isso, vamos usar derivadas para encontrar o extremo de y(t) e resolver a equação y(t)=0.

Passo 2

Calculamos a derivada de y(t) para achar o instante de máximo:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(20t-t^{2}\bigr)=20-2t.
Em seguida, igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
20-2t=0\quad\Longrightarrow\quad t=10\\ \text{s}.

Passo 3

Avalia-mos y(t) em t=10 para obter a altura máxima:
y(10)=20\cdot10 - 10^{2}=200-100=100\\ \text{cm}.

Passo 4

Para saber quando a partícula atinge o chão, resolvemos y(t)=0:
20t - t^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad t\,(20 - t)=0 \quad\Longrightarrow\quad t=0\\ \text{s}\\ \text{ou}\\ t=20\\ \text{s}.
Ignoramos t=0 (lançamento) e tomamos t=20\\ \text{s}.

Passo 5

Finalmente, calculamos a posição horizontal x em t=20:
x(20)=\frac{1}{4}\,(20)^{3}+2\cdot20 =\frac{1}{4}\,8000+40 =2000+40 =2040\\ \text{cm}.

Resposta

(a) A altura máxima é 100\\ \text{cm}.
(b) A partícula atinge o chão em t=20\\ \text{s} e pousa a 2040\\ \text{cm} da origem.

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