Encontre a solução geral do sistema de EDO a seguir.
\quad \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{array}\right) \mathbf{x}.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear autônomo com matriz de coeficientes diagonal
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares de coeficientes constantes. Como A é diagonal, as componentes de \mathbf{x}=(x_1,x_2)^T se separam em duas EDOs de primeira ordem independentes.

Passo 2

Escrevendo por componentes, temos
\begin{cases} x_1' = 1\cdot x_1,\\\ x_2' = 2\cdot x_2. \end{cases}
Cada uma é uma EDO do tipo y'=\lambda y cuja solução geral é y(t)=C\,e^{\lambda t}. Assim,
x_1(t)=C_1 e^{t}, \qquad x_2(t)=C_2 e^{2t},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Reescrevendo em forma vetorial, a solução geral do sistema é
\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} C_1 e^{t} \\\ C_2 e^{2t} \end{pmatrix},
onde C_1 e C_2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

\mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix} C_1 e^{t} \\\ C_2 e^{2t} \end{pmatrix}, \quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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