Se A=[aij] com j i, i >= j 0, i com B simétrica e bij=i+j, i <= j. Encontre:
a) C=2 A-3 B
b) C=B^2 é uma matriz anti-simétrica?

Passo 1

A questão pede duas coisas: em (a) a gente calcula a matriz C=2A-3B usando as definições de aij e bij, e em (b) a gente verifica se B^2 é anti-simétrica. O conteúdo envolve operações lineares em matrizes e produto de matrizes com análise de simetria.

Passo 2

Segundo a definição, aij=ij,&i>= j,0,&i e como B é simétrica com bij=i+j para i<= j (e por simetria vale bij=i+j para todo par i,j), temos sempre bij=i+j.
Para C=2A-3B basta usar cij=2aij-3bij Então, em bloco:
cij=2,(i,j)-3,(i+j),&i>= j,2,0-3,(i+j)=-3(i+j),&i

Passo 3

Agora, para C=B^2 (vou chamar de D=B^2 para não confundir): o elemento dij é
dij=sumk=1^n bik,bkj=sumk=1^n(i+k)(k+j)

Passo 4

Expandindo o somatório:
dij=sumk=1^nl(i j +i k +k j +k^2r)=n,i j+(i+j)sumk=1^n k+sumk=1^n k^2

Passo 5

Como sumk=1^n k=tfracn(n+1)2 e sumk=1^n k^2=tfracn(n+1)(2n+1)6, vemos que dij depende simetricamente de i e j. Ou seja, dij=dji, logo B^2 é simétrica.
Uma matriz anti-simétrica exige dji=-dij, mas aqui dji=dij e não são todos nulos (salvo caso trivial). Portanto B^2 não é anti-simétrica.

Resposta

a) Os coeficientes de C=2A-3B são
cij=2ij-3(i+j),&i>= j,-3(i+j),&i
b) Não. A matriz B^2 é simétrica ( dij=dji), então não satisfaz a condição dji=-dij e, portanto, não é anti-simétrica.

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