Exercício 2 Considere a matriz
(a) Obtenha o polinômio característico de
.
(b) Mostre que se
é simétrica, então é diagonalizável.
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para obter o polinômio característico de uma matriz 2×2 genérica e depois mostrar que, se ela for simétrica, então é diagonalizável. Vamos usar conteúdos de autovalores, polinômio característico e propriedades de matrizes simétricas.
Passo 2
Para achar o polinômio característico de
, usamos a definição
. Isso dá
Passo 3
Se
for simétrica, então
. Nesse caso o discriminante do polinômio característico fica
Passo 4
Como
ou, no caso limite
,
, obtemos dois autovalores reais distintos ou um autovalor duplo com
proporcional à identidade. Em ambos os casos há duas direções independentes de autovetores em
, garantindo que
seja diagonalizável.
Resposta
O polinômio característico é
E se