Exercício 2 Considere a matriz
A=[ll a & b c & d ]
(a) Obtenha o polinômio característico de A.
(b) Mostre que se A é simétrica, então é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para obter o polinômio característico de uma matriz 2×2 genérica e depois mostrar que, se ela for simétrica, então é diagonalizável. Vamos usar conteúdos de autovalores, polinômio característico e propriedades de matrizes simétricas.

Passo 2

Para achar o polinômio característico de A=a & b c & d, usamos a definição p(lambda)=det(A-lambda I). Isso dá
p(lambda)=deta-lambda & b c & d-lambda=(a-lambda)(d-lambda)-bc,

Passo 3

Se A for simétrica, então b=c. Nesse caso o discriminante do polinômio característico fica
De=0,

Passo 4

Como De0 ou, no caso limite a=d,b=0, A=aI, obtemos dois autovalores reais distintos ou um autovalor duplo com A proporcional à identidade. Em ambos os casos há duas direções independentes de autovetores em R^2, garantindo que A seja diagonalizável.

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=lambda^2-(a+d)lambda+(ad-bc)\n
E se A é simétrica (isto é, b=c), então seus autovalores são reais e a matriz possui um conjunto de autovetores que forma base de R^2, logo A é diagonalizável.

Exercícios relacionados