Exercício 1 Sejam V um espaço de dimensão 5 e T: V V uma transformação linear. Justifique a seguinte afirmação:
  • Se o polinômio característico de T é
p(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1),
então T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V de dimensão 5 e uma transformação linear T:Vto V cujo polinômio característico é
p(x)=(x-5)(x-4)(x-3)(x-2)(x-1)
O objetivo é mostrar que T é diagonalizável. Podemos usar teoria de autovalores e suas multiplicidades.

Passo 2

Uma transformação linear T em um espaço de dimensão n é diagonalizável se e somente se existir uma base de V formada por autovetores de T. Isso equivale a dizer que a soma das dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas) é igual a n.

Passo 3

Do polinômio característico dado vemos que os autovalores de T são lambda1=5,lambda2=4,lambda3=3,lambda4=2,lambda5=1. Cada fator (x-lambdai) aparece apenas uma vez, ou seja, a multiplicidade algébrica de cada autovalor lambdai é 1.

Passo 4

Pela teoria, para cada autovalor lambdai temos
  1. a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço correspondente) satisfaz
1 <= mu=ométrica de lambdai <= muéé
Logo a multiplicidade geométrica de cada lambdai é precisamente 1. Somando sobre os 5 autovalores obtemos 1+1+1+1+1=5.

Passo 5

Como o somatório das dimensões dos autespaços é igual a dim V=5, esses autovetores são linearmente independentes e formam uma base de V. Isso garante que T é diagonalizável.

Passo 6

A razão central é que o polinômio característico se decompõe em fatores lineares distintos, e portanto o polinômio mínimo também tem raízes simples, condição suficiente para diagonalização.

Resposta

T é diagonalizável, pois possui 5 autovalores distintos em um espaço de dimensão 5, garantindo uma base de autovetores.

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