Exercício 1 Sejam
um espaço de dimensão 5 e
uma transformação linear. Justifique a seguinte afirmação:
- Se o polinômio característico de
é
então
é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
de dimensão 5 e uma transformação linear
cujo polinômio característico é
O objetivo é mostrar que
é diagonalizável. Podemos usar teoria de autovalores e suas multiplicidades.
Passo 2
Uma transformação linear
em um espaço de dimensão
é diagonalizável se e somente se existir uma base de
formada por autovetores de
. Isso equivale a dizer que a soma das dimensões dos autespaços (multiplicidades geométricas) é igual a
.
Passo 3
Do polinômio característico dado vemos que os autovalores de
são
. Cada fator
aparece apenas uma vez, ou seja, a multiplicidade algébrica de cada autovalor
é 1.
Passo 4
Pela teoria, para cada autovalor
temos
- a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço correspondente) satisfaz
Logo a multiplicidade geométrica de cada
é precisamente 1. Somando sobre os 5 autovalores obtemos
.
Passo 5
Como o somatório das dimensões dos autespaços é igual a
, esses autovetores são linearmente independentes e formam uma base de
. Isso garante que
é diagonalizável.
Passo 6
A razão central é que o polinômio característico se decompõe em fatores lineares distintos, e portanto o polinômio mínimo também tem raízes simples, condição suficiente para diagonalização.
Resposta
T é diagonalizável, pois possui 5 autovalores distintos em um espaço de dimensão 5, garantindo uma base de autovetores.