Dadas as matrizes
A= ccc1 & 2 & -1 -2 & -3 & 2 1 & 4 & 5
e
B= ccc1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -3 & -1 & -17
, encontre:
a) C=A+2 B
b) C=B^2
c) Obtenha A e B como soma de uma matriz simétrica e outra anti-simétrica.

Passo 1

O exercício pede: a) calcular C=A+2B; b) calcular C=B²; c) decompor A e B como soma de uma matriz simétrica e outra anti-simétrica. Vamos usar operações de soma e produto de matrizes, e a fórmula de decomposição M=(M+MT)/2+(M–MT)/2.

Passo 2

Para a) fazemos 2B e somamos a A. Primeiro 2B:
2B=21&0&32&-1&4-3&-1&-17=2&0&64&-2&8-6&-2&-34
Agora somamos A+2B:
C=A+2B=1&2&-1-2&-3&21&4&5+2&0&64&-2&8-6&-2&-34=3&2&52&-5&10-5&2&-29

Passo 3

Para b) usamos a definição de produto de matrizes: cada entrada (B²){ij}=∑_kB{ik}B_{kj}. Fazendo as contas, obtemos
B^2=-8&-3&-48-12&-3&-6646&18&276

Passo 4

Para c) lembramos que toda matriz M pode ser escrita como S+K, onde
S=M+M^T2(simétrica), K=M-M^T2(anti-simétrica)éé
Aplicando a A, primeiro A^T:
A^T=1&-2&12&-3&4-1&2&5
Então
SA=A+A^T2=1&0&00&-3&30&3&5, KA=A-A^T2=0&2&-1-2&0&-11&1&0

Passo 5

Fazendo o mesmo para B, com
B^T=1&2&-30&-1&-13&4&-17,
temos
SB=B+B^T2=1&1&01&-1&tfrac320&tfrac32&-17, KB=B-B^T2=0&-1&31&0&tfrac52-3&-tfrac52&0

Resposta

a) C=A+2B= 3&2&52&-5&10-5&2&-29
b) B^2= -8&-3&-48-12&-3&-6646&18&276
c) Decomposições:
A=underbraceA+A^T2SA+underbraceA-A^T2KA =1&0&00&-3&30&3&5 +0&2&-1-2&0&-11&1&0
B=underbraceB+B^T2SB+underbraceB-B^T2KB =1&1&01&-1&tfrac320&tfrac32&-17 +0&-1&31&0&tfrac52-3&-tfrac52&0

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