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questão
Um experimento tem por objetivo comparar dois métodos de ensino ( A e B ). Para isso, uma turma foi dividida em duas e, a cada uma delas, foi administrado um dos métodos. Posteriormente, uma prova foi aplicada com a intenção de se verificar se houve diferença entre os métodos. As notas obtidas por cada aluno estão apresentadas na tabela a seguir (as notas de cada método são independentes). Assuma que as notas seguem uma distribuição normal e que a variância populacional das notas do método A ( \sigma_{A}^{2} ) é diferente da variância populacional das notas do método B ( \sigma_{B}^{2} ). Faça um teste de hipótese adequado, considerando nível de significância 6 \%.
Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8
Método A 52 67 54 67 65 70
Método B 50 59 60 65 62 62 68 65
OBS: Os números entre parênteses no início das questões referem-se ao número de casas decimais da resposta e a tolerância considerada.
a. As hipóteses de teste neste estudo são: H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B} e H_{a} :
\mu_{A} \neq \mu_{B}
\square
b. (3 ; 0,05) o valor da estatística de teste calculado com base nos dados é: \square
c. O valor crítico (absoluto) do teste para o nível de significância desejado é: \square
d. Em qual faixa de valores se encontra o p-valor?
e. Há evidência para rejeitar H_{0} com o nível de significância adotado? \square
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Passo 1

O enunciado pede comparar as médias das notas de dois métodos de ensino A e B com amostras independentes e variâncias populacionais diferentes. Como as notas seguem distribuição normal e \sigma_{A}^{2}\neq\sigma_{B}^{2}, vamos usar o teste t de Welch para duas amostras independentes, nivel de significância \alpha=0,06, e hipótese alternativa bilateral:
H_{0}: \mu_{A} = \mu_{B}, \quad H_{a}: \mu_{A} \neq \mu_{B}.

Passo 2

Calcular médias e variâncias amostrais de cada método:
Dados método A ( n_{1}=6):
\bar x_{A} =\frac{52+67+54+67+65+70}{6} =62{,}5,
s_{A}^{2} =\frac{\sum(x_{i}-\bar x_{A})^{2}}{n_{1}-1} =\frac{285{,}5}{5} =57{,}10.
Dados método B ( n_{2}=8):
\bar x_{B} =\frac{50+59+60+65+62+62+68+65}{8} =61{,}375,
s_{B}^{2} =\frac{\sum(x_{i}-\bar x_{B})^{2}}{n_{2}-1} =\frac{207{,}875}{7} \approx29{,}6964.

Passo 3

Estatística de teste de Welch:
t =\frac{\bar x_{A}-\bar x_{B}} {\sqrt{\dfrac{s_{A}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{B}^{2}}{n_{2}}}} =\frac{62{,}5-61{,}375}{\sqrt{\tfrac{57{,}10}{6}+\tfrac{29{,}6964}{8}}} \approx0{,}309.

Passo 4

Graus de liberdade aproximados de Welch:
\nu \approx \frac{\bigl(\tfrac{s_{A}^{2}}{n_{1}}+\tfrac{s_{B}^{2}}{n_{2}}\bigr)^{2}} {\tfrac{\bigl(\tfrac{s_{A}^{2}}{n_{1}}\bigr)^{2}}{n_{1}-1} +\tfrac{\bigl(\tfrac{s_{B}^{2}}{n_{2}}\bigr)^{2}}{n_{2}-1}} \approx8{,}7.
Para \alpha/2=0,03 e \nu\approx8{,}7, o valor crítico bilateral (absoluto) é
t_{1-0,03;\,\nu}\approx2{,}13.

Passo 5

O p-valor é
p=2\,P\bigl(T_{\nu>8}>0{,}309\bigr)\approx0{,}76,
logo está na faixa 0{,}7<p<0{,}8. Como p>\alpha e \lvert t\rvert<2{,}13, não rejeitamos H_{0}.

Resposta

a. H_{0}: \mu_{A}=\mu_{B} e H_{a}: \mu_{A}\neq\mu_{B}.
b. Estatística de teste t\approx0{,}309.
c. Valor crítico (absoluto) t_{c}\approx2{,}13.
d. p-valor está em 0{,}7<p<0{,}8.
e. Não há evidência para rejeitar H_{0} ao nível de 6\%.

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