O peso (em gramas) de determinada componente produzida por uma indústria é uma variável aleatória que se assume ter distribuição Normal. Suponha que o controle de qualidade desta indústria queira avaliar a variabilidade do peso dos itens fabricados e, para tal, o responsável pelo setor coletou uma amostra de 12 componentes produzidas em um dia qualquer na indústria. Os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo.
99 105 99 90
102 101 108 98
99 100 104 99
Assumindo que o peso seja uma variável aleatória que pode ser aproximada por uma distribuição Normal, podemos afirmar que a verdadeira variância populacional do peso das componentes é superior a 8 \mathrm{~g}^{2} ? Considere \alpha=0,05.
Para inserir a resposta desta questão, considere o seguinte procedimento:
  • Se a sua decisão for a de não rejeitar a hipótese nula, então informe como resposta o valor da adição entre a estatística do teste e o número l;
  • Se a sua decisão for a de rejeitar a hipótese nula, então informe como resposta o valor da subtração entre a estatística do teste e o número 1.
Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de tamanho n=12 de pesos (em gramas) de componentes que se assume ser normalmente distribuída. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05,
H_0:\sigma^2 = 8 \quad\text{versus}\quad H_1:\sigma^2>8,
usando o teste qui\mbox{-}quadrado para variância.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x. A soma dos valores é
\sum_{i=1}^{12}x_i =1204
portanto
\bar x = \frac{1204}{12} = 100,3333.

Passo 3

Calcular a variância amostral S^2. Primeiro a soma dos quadrados dos desvios:
\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar x)^2 =216,6667,
de onde
S^2 = \frac{216,6667}{n-1} = \frac{216,6667}{11} = 19,6970.

Passo 4

A estatística de teste é
\chi^2 = \frac{(n-1)\,S^2}{\sigma_0^2} = \frac{11\cdot 19,6970}{8} =27,0833.

Passo 5

O valor crítico para \chi^2 com 11 graus de liberdade e \alpha=0,05 (cauda direita) é aproximadamente
\chi^2_{0,95;\,11}=19,675.
Como
27,0833 > 19,675,
rejeitamos H_0 em favor de H_1, concluindo que \sigma^2>8.

Passo 6

Como rejeitamos H_0, a instrução pede que informemos \chi^2 - 1. Logo
27,0833 - 1 = 26,0833.

Resposta

26,0833

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