Classifique e resolva o sistema a seguir:
c3 x-8 y-9 z=14 7 x+3 y+2 z=-12 -8 x-9 y+6 z=11

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
3x-8y-9z=14, 7x+3y+2z=-12, -8x-9y+6z=11,
que tem três equações e três incógnitas. Vamos primeiro classificar o sistema calculando o determinante da matriz dos coeficientes e, em seguida, resolver por eliminação de Gauss.

Passo 2

Seja
A = 3 & -8 & -9 7 & 3 & 2 -8 & -9 & 6
O determinante de A é
det(A) =33&2-9&6 -(-8)7&2-8&6 +(-9)7&3-8&-9
Calculando cada menor:
3&2-9&6=3cdot6-2cdot(-9)=36, 7&2-8&6=7cdot6-2cdot(-8)=58,
7&3-8&-9=7cdot(-9)-3cdot(-8)=-39
Logo,
det(A)=3cdot36 +8cdot58 +(-9)cdot(-39) =108 +464 +351=923neq 0
Como det(A)neq0, o sistema é possível e determinado (SPD) e tem solução única.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar y e z.
Multiplicando a primeira equação por 7 e a segunda por 3 e subtraindo:
7times(3x-8y-9z)=7cdot14 ;;e;; 3times(7x+3y+2z)=3cdot(-12)
dão
21x -56y -63z =98, 21x +9y +6z =-36,
subtraindo:
-65y -69z =134 tag4
De modo análogo, multiplicando a primeira por 8 e a terceira por 3 e somando:
24x -64y -72z =112, -24x -27y +18z =33,
-91y -54z =145 tag5
Agora, multiplicando (4) por -91 e (5) por 65 e somando, obtemos
2769,z=-2769 Longrightarrow z=-1
Substituindo em (4):
-65y -69(-1)=134 Longrightarrow -65y=65 Longrightarrow y=-1

Passo 4

Finalmente, substituímos y=-1 e z=-1 na primeira equação:
3x -8(-1) -9(-1)=14 Longrightarrow 3x+17=14 Longrightarrow 3x=-3 Longrightarrow x=-1

Resposta

O sistema é possível e determinado e sua solução única é
x=-1, y=-1, z=-1

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