Para qual(ais) valor(es) de a e b os planos do R^3 descritos pelas equações
X+Y+2 Z=1, 2 X+3 Y-Z=1, X+a Y+Z=b
se interceptam em mais de um ponto?

Passo 1

Temos o sistema linear que representa a interseção de três planos em R^3:
X + Y + 2Z = 1, 2X + 3Y - Z = 1, X + aY + Z = b
Queremos que esses planos se intersectem em mais de um ponto, isto é, que o sistema tenha infinitas soluções. Na álgebra linear, isso acontece exatamente quando a matriz de coeficientes é singular (posto menor que 3) e o posto da matriz aumentada é igual ao posto da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e calculamos seu determinante:
A = 1 & 1 & 2 2 & 3 & -1 1 & a & 1 , det(A) = 1 & 1 & 2 2 & 3 & -1 1 & a & 1 =5a - 6
Para que haja infinitas soluções, precisamos de det(A)=0, ou seja
5a - 6 = 0 Longrightarrow a = tfrac65

Passo 3

Com
substituindo . Das componentes , e obtemos o sistema
Resolvendo, achamos . Para que o termo independente do terceiro plano seja a mesma combinação das constantes das duas primeiras equações, deve valer

Resposta

Os planos se interceptam em mais de um ponto exatamente quando
a = tfrac65 e b = tfrac45

Exercícios relacionados