Quais condições as constantes lambda1 e lambda2 devem satisfazer a fim de que o seguinte sistema linear possua uma única solução (não é necessário calculá-la)?
[ccc 1 & 0 & -1 2 & 3 & lambda1 -1 & lambda2 & 2 ][l X1 X2 X3 ]=[c raiz2 raiz3 raiz5 ]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
e pede condições em para que haja única solução. Em álgebra linear, um sistema tem solução única se, e somente se, . Então vamos calcular em função de .]

Passo 2

Calculemos
A = 1 & 0 & -1 [3pt] 2 & 3 & lambda1 [3pt] -1 & lambda2 & 2
Expandindo o determinante pela primeira linha, temos
det(A) =1cdotdet!3 & lambda1[3pt]lambda2 & 2 ;-;0cdot(dots) ;+;(-1)cdotdet!2 & 3[3pt]-1 & lambda2 ]

Passo 3

Calculemos os dois menores:
det!3 & lambda1[3pt]lambda2 & 2 =3cdot2 - lambda1lambda2 =6 - lambda1lambda2,
det!2 & 3[3pt]-1 & lambda2 =2lambda2 - (-1)cdot3 =2lambda2 +3
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det(A) =(6 - lambda1lambda2) ;+;(-1),(2lambda2 +3) =6 - lambda1lambda2 -2lambda2 -3 =3 - lambda2(lambda1+2) ]

Passo 4

Para ter solução única, exigimos
det(A)neq0 Long<=ftrightarrow 3 - lambda2(lambda1+2)neq0 Long<=ftrightarrow lambda2(lambda1+2)neq3

Resposta

As constantes devem satisfazer
lambda2(lambda1+2)neq3,
ou seja, o produto lambda2(lambda1+2) não pode ser igual a 3.

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