Com ajuda do logarítmo, ache as derivadas das funções:
y=e^x^x^x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^x^x^x
Usaremos logaritmo para derivar a torre x^x^x e depois a regra da cadeia para a exponencial.

Passo 2

Defina
u(x) = x^x^x,
de modo que
y = e^u(x)
Pela regra da cadeia,
y' = e^u(x),u'(x)

Passo 3

Para achar u'(x) use logaritmo:
ln u = lnl(x^x^xr) = x^xln x
Derivando ambos os lados,
u'u = ddxl(x^xln xr)

Passo 4

Calcule
ddxl(x^xln xr) = l(x^xr)',ln x + x^xcdotddx(ln x)

Passo 5

Sabendo que
ddxl(x^xr) = x^x(ln x + 1) e ddx(ln x)=1x,
temos
u'u = x^x(ln x + 1)ln x + x^xcdot1x = x^xl[(ln x+1)ln x + tfrac1xr]

Passo 6

Logo
u' = u;x^xl[(ln x+1)ln x + tfrac1xr] = x^x^x;x^xl[(ln x+1)ln x + tfrac1xr]
Substituindo em y':
y' = e^u(x),u' = e^x^x^x;x^x^x;x^xl[(ln x+1)ln x + tfrac1xr]

Resposta

boxed y' = e^x^x^x;x^x^x;x^xl[(ln x+1)ln x + tfrac1xr]

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