Com ajuda do logarítmo, ache as derivadas das funções:
y=(x-2)^9raiz[3](x+2)^2 raiz(x+3)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=(x-2)^9raiz[3](x+2)^2,raiz(x+3)^3 usando diferenciação logarítmica. Vamos precisar das propriedades de logaritmos para transformar produtos e quocientes em somas e diferenças de funções logarítmicas, além da regra da cadeia para derivadas de ln(cdot).

Passo 2

Reescrevemos y em forma de potências e aplicamos o logaritmo natural:
y=(x-2)^9(x+2)^-2/3(x+3)^-3/2
ln y=9ln(x-2)-23ln(x+2)-32ln(x+3)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo usamos ddx[ln y]=y'y. Do lado direito:
y'y=9cdot1x-2-23cdot1x+2-32cdot1x+3

Passo 4

Isolamos y' e substituímos y na expressão:
y'=yl(9x-2-23(x+2)-32(x+3)r)
Voltando à forma original de y:
y'=(x-2)^9(x+2)^-2/3(x+3)^-3/2l(9x-2-23(x+2)-32(x+3)r)

Passo 5

Essa é a forma final da derivada, obtida de maneira sistemática pelo método da diferenciação logarítmica.

Resposta

y'=(x-2)^9(x+2)^-2/3(x+3)^-3/2l(9x-2-23(x+2)-32(x+3)r)

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