Derivação implícita. Calcular d yd x se:
2 x^4 y^2-4 x^2 y^4+x^2 y^2=6

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
2x^4y^2-4x^2y^4+x^2y^2=6
e pede dydx. Vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto sempre que tivermos um termo x^m y^n, além da regra da cadeia para y(x).

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos
ddxl(2x^4y^2r) - ddxl(4x^2y^4r) + ddxl(x^2y^2r) = ddx(6)
Agora cada derivada:
ddx(2x^4y^2) =2l(4x^3y^2+x^4cdot2y,y'r) =8x^3y^2+4x^4y,y',
ddx(4x^2y^4) =4l(2x,y^4+x^2cdot4y^3y'r) =8x,y^4+16x^2y^3y',
ddx(x^2y^2) =2x,y^2+x^2cdot2y,y' =2x,y^2+2x^2y,y',
e tfracddx(6)=0.

Passo 3

Substituindo na equação e lembrando do sinal em cada termo, obtemos
l(8x^3y^2+4x^4y,y'r) - l(8x,y^4+16x^2y^3y'r) + l(2x,y^2+2x^2y,y'r) =0
Agrupando os termos sem y' e os que têm y',
l(8x^3y^2-8x,y^4+2x,y^2r) +l(4x^4y-16x^2y^3+2x^2yr)y' =0

Passo 4

Isolando y', temos
l(4x^4y-16x^2y^3+2x^2yr)y' = -l(8x^3y^2-8x,y^4+2x,y^2r)
y' = -8x^3y^2-8x,y^4+2x,y^24x^4y-16x^2y^3+2x^2y
Fatorando 2x,y^2 no numerador e 2x^2y no denominador,
y' = -2x,y^2l(4x^2-4y^2+1r)2x^2yl(2x^2-8y^2+1r) = -yl(4x^2-4y^2+1r)xl(2x^2-8y^2+1r)

Resposta

dydx = -y,(4x^2-4y^2+1)x,(2x^2-8y^2+1)

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