Derivação implícita. Calcular d yd x se:
sin x y+cos x y=tg(x+y)

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
sin(xy)+cos(xy)=tan(x+y)
e pede dydx. O conteúdo é derivação implícita, usando regra da cadeia e regra do produto para diferenciar termos que dependem de x e de y(x).

Passo 2

Derivando o lado esquerdo em relação a x:
  • Para sin(xy), aplicamos cadeia e produto:
ddxl[sin(xy)r] =cos(xy),ddx(xy) =cos(xy)l(y + x,y'r)
  • Para cos(xy), similarmente:
ddxl[cos(xy)r] =-sin(xy),ddx(xy) =-sin(xy)l(y + x,y'r)
Somando, o lado esquerdo vira
cos(xy)l(y + x,y'r) -sin(xy)l(y + x,y'r)

Passo 3

Derivando o lado direito tan(x+y):
ddxl[tan(x+y)r] =sec^2(x+y),ddx(x+y) =sec^2(x+y)l(1 + y'r)

Passo 4

Agora igualamos as derivadas:
cos(xy)(y + x,y')-sin(xy)(y + x,y') =sec^2(x+y)(1 + y')
Fatorando em cada lado:
(y + x,y')l[cos(xy)-sin(xy)r] =sec^2(x+y) + sec^2(x+y),y'
Expandindo e agrupando os termos com y':
yl[cos(xy)-sin(xy)r] + x,y'l[cos(xy)-sin(xy)r] =sec^2(x+y) + y',sec^2(x+y)
Passamos todos os termos com y' para um lado e os demais para o outro:
x,y'l[cos(xy)-sin(xy)r] - y',sec^2(x+y) =sec^2(x+y) - yl[cos(xy)-sin(xy)r]
Fatorando y':
y'l(xl[cos(xy)-sin(xy)r] -sec^2(x+y)r) =sec^2(x+y) - yl[cos(xy)-sin(xy)r]
Logo,
y' =sec^2(x+y) - yl[cos(xy)-sin(xy)r] xl[cos(xy)-sin(xy)r] -sec^2(x+y)

Resposta

dydx =sec^2(x+y) - yl[cos(xy)-sin(xy)r] xl[cos(xy)-sin(xy)r] -sec^2(x+y)

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