Ajuste os dados da tabela abaixo a uma reta de modo que o erro seja o menor possível.
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2 | 3.4 | 5.2 |
3 | 5.1 | 3.8 |
4 | 6.8 | 6.1 |
5 | 8.0 | 5.8 |
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para ajustar uma reta que passe pelos dados
(x₁, f(x₁)) = (3.4, 5.2), (5.1, 3.8), (6.8, 6.1) e (8.0, 5.8) de forma que o erro quadrático seja mínimo.
Isso é um problema de regressão linear pelo método dos mínimos quadrados.
O que vamos usar:
(x₁, f(x₁)) = (3.4, 5.2), (5.1, 3.8), (6.8, 6.1) e (8.0, 5.8) de forma que o erro quadrático seja mínimo.
Isso é um problema de regressão linear pelo método dos mínimos quadrados.
O que vamos usar:
- as fórmulas para a inclinação (a) e o coeficiente linear (b) da reta
f(x) = a x + b - os somatórios Σxᵢ, Σf(xᵢ), Σxᵢ² e Σ(xᵢ f(xᵢ)).
Passo 2
Primeiro, organizamos os somatórios (n = 4 pontos):
Σxᵢ = 3.4 + 5.1 + 6.8 + 8.0 = 23.3
Σf(xᵢ) = 5.2 + 3.8 + 6.1 + 5.8 = 20.9
Σxᵢ² = 3.4² + 5.1² + 6.8² + 8.0² = 11.56 + 26.01 + 46.24 + 64.00 = 147.81
Σ(xᵢ f(xᵢ)) = 3.4·5.2 + 5.1·3.8 + 6.8·6.1 + 8.0·5.8
= 17.68 + 19.38 + 41.48 + 46.40 = 124.94
Σxᵢ = 3.4 + 5.1 + 6.8 + 8.0 = 23.3
Σf(xᵢ) = 5.2 + 3.8 + 6.1 + 5.8 = 20.9
Σxᵢ² = 3.4² + 5.1² + 6.8² + 8.0² = 11.56 + 26.01 + 46.24 + 64.00 = 147.81
Σ(xᵢ f(xᵢ)) = 3.4·5.2 + 5.1·3.8 + 6.8·6.1 + 8.0·5.8
= 17.68 + 19.38 + 41.48 + 46.40 = 124.94
Passo 3
Agora usamos a fórmula da inclinação a:
Substituindo:
Passo 4
Para o coeficiente linear b, usamos:
Logo:
Passo 5
Pronto! A reta ajustada, que minimiza o erro quadrático, é
Resposta
A reta de ajuste é