Ajuste os dados da tabela abaixo a uma reta de modo que o erro seja o menor possível.
i xi f(xi)
2 3.4 5.2
3 5.1 3.8
4 6.8 6.1
5 8.0 5.8

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para ajustar uma reta que passe pelos dados
(x₁, f(x₁)) = (3.4, 5.2), (5.1, 3.8), (6.8, 6.1) e (8.0, 5.8) de forma que o erro quadrático seja mínimo.
Isso é um problema de regressão linear pelo método dos mínimos quadrados.
O que vamos usar:
  1. as fórmulas para a inclinação (a) e o coeficiente linear (b) da reta
    f(x) = a x + b
  2. os somatórios Σxᵢ, Σf(xᵢ), Σxᵢ² e Σ(xᵢ f(xᵢ)).

Passo 2

Primeiro, organizamos os somatórios (n = 4 pontos):
Σxᵢ = 3.4 + 5.1 + 6.8 + 8.0 = 23.3
Σf(xᵢ) = 5.2 + 3.8 + 6.1 + 5.8 = 20.9
Σxᵢ² = 3.4² + 5.1² + 6.8² + 8.0² = 11.56 + 26.01 + 46.24 + 64.00 = 147.81
Σ(xᵢ f(xᵢ)) = 3.4·5.2 + 5.1·3.8 + 6.8·6.1 + 8.0·5.8
= 17.68 + 19.38 + 41.48 + 46.40 = 124.94

Passo 3

Agora usamos a fórmula da inclinação a:
a = n,sum xᵢ f(xᵢ) ;-; (sum xᵢ)(sum f(xᵢ)) n,sum xᵢ² ;-; (sum xᵢ)^2 ²
Substituindo:
a = 4cdot124.94 ;-; 23.3cdot20.9 4cdot147.81 ;-; (23.3)^2 = 499.76 ;-; 486.97591.24 ;-; 542.89 = 12.7948.35 approx 0.2646

Passo 4

Para o coeficiente linear b, usamos:
b = sum f(xᵢ) ;-; a,sum xᵢn
Logo:
b = 20.9 ;-; 0.2646cdot23.34 = 20.9 ;-; 6.16544 = 14.73464 approx 3.6837

Passo 5

Pronto! A reta ajustada, que minimiza o erro quadrático, é
f(x) = a,x + b = 0.2646,x + 3.6837

Resposta

A reta de ajuste é
boxedf(x) = 0.2646,x + 3.6837

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