Ajuste pelo método dos Mínimos Quadrados:
(0,1),(1,3),(2,2).
Estimar o valor em \mathrm{x}=1.5.

Passo 1

O enunciado pede o ajuste de uma reta pelo método dos mínimos quadrados para os pontos (0,1), (1,3) e (2,2), ou seja, queremos uma reta
y = a\,x + b
que minimize a soma dos quadrados dos resíduos. Para isso vamos usar as equações normais, que exigem os somatórios \sum x_i, \sum y_i, \sum x_i^2 e \sum x_i y_i.

Passo 2

Calculamos os somatórios dos três pontos:
n = 3,\quad \sum x_i = 0 + 1 + 2 = 3,\quad \sum y_i = 1 + 3 + 2 = 6,
\sum x_i^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 = 5,\quad \sum x_i y_i = 0\cdot1 + 1\cdot3 + 2\cdot2 = 7.

Passo 3

As equações normais para ajustar y = a x + b são
a\sum x_i^2 + b\sum x_i = \sum x_i y_i,
a\sum x_i + b\,n = \sum y_i.
Substituindo os valores:
5a + 3b = 7,
3a + 3b = 6.
Da segunda equação vem b = 2 - a. Colocando em 5a + 3b = 7:
5a + 3(2 - a) = 7 \quad\Longrightarrow\quad 5a + 6 - 3a = 7 \quad\Longrightarrow\quad 2a = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = 0{,}5,
e assim
b = 2 - 0{,}5 = 1{,}5.

Passo 4

A reta ajustada é
y = 0{,}5\,x + 1{,}5.
Para estimar em x = 1{,}5:
y(1{,}5) = 0{,}5 \times 1{,}5 + 1{,}5 = 0{,}75 + 1{,}5 = 2{,}25.

Resposta

A estimativa pelo ajuste de mínimos quadrados em x = 1{,}5 é 2{,}25.

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