Ajuste os pontos
e
a uma curva de forma
.
Passo 1
O enunciado pede ajustar os pontos
,
,
,
e
por uma curva da forma
Informações dadas:
A tarefa é encontrar os parâmetros
e
que melhor ajustam esses pontos pela forma potência
. Não começo a calcular aqui — só deixei claro o que é pedido e os dados.
Passo 2
Idéia do método (explicação didática): para ajustar uma potência
usamos uma transformação logarítmica que a lineariza. Tome
em ambos os lados:
Se definirmos
a equação fica linear:
Agora é um problema de regressão linear (mínimos quadrados) para ajustar uma reta
aos pontos
. As fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (explicando o porquê: estas vêm de minimizar a soma dos quadrados dos erros
e resolvem as chamadas equações normais) são:
onde
e finalmente
Aqui
é o número de pontos (
). Em prova: lembre-se de transformar cada ponto por
e aplicar essas somas.
Passo 3
Transformo os pontos com
e
. Vou calcular com 6 casas decimais para controlar erros e depois arredondar o resultado final.
Para cada ponto:
Agora calculo as quantidades necessárias:
Somas (com
):
(Expliquei: peguei os
de cada
e
conforme listado acima e somei; se quiser conferir, calcule cada
com uma calculadora científica e some.)]
Passo 4
Substituo nas fórmulas da regressão para obter
. Usando
Calculo numerador e denominador separadamente:
Logo
(Interpretação didática:
é a inclinação da reta no plano
; numericamente ficamos com
próximo de
.)
Passo 5
Agora calculo
com
Então
E finalmente
(Explicando:
é o logaritmo de
; para voltar a
aplicamos a exponencial.)
Passo 6
Interpretação final e arredondamento: a partir dos cálculos por mínimos quadrados no plano logarítmico obtemos, arredondando os parâmetros com três casas decimais,
Portanto o ajuste pela forma potência fica