Ajuste os pontos
e
a uma curva da forma
.
Passo 1
O enunciado pede ajustar os pontos
,
,
,
e
a uma curva da forma
.
Informações dadas:
.
Pergunta: encontrar os parâmetros e
que melhor ajustam esses pontos no sentido dos mínimos quadrados.
Informações dadas:
Pergunta: encontrar os parâmetros
Passo 2
Vamos transformar o problema para ficar mais simples: tomar o log natural de ambos os lados da equação
. Isso dá uma relação linear entre
e
. Definimos:
Substituindo obtemos a forma linear
Explicação didática: isso significa que ajustar
é equivalente a ajustar uma reta
aos pontos
, onde
. Depois de achar
e
fazemos
e
.
Passo 3
Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (explicando cada variável):
onde
é o número de pontos,
e
.
Observação prática: no nosso conjunto , logo
. Isso simplifica as fórmulas para
Observação prática: no nosso conjunto
Explicação: quando
a reta passa por
em termos do ajuste linear.
Passo 4
Calcular
para cada ponto (uso de log natural
). Vou mostrar cada valor com aproximação razoável:
Esses valores foram obtidos aplicando a função
a cada
. Vou usar essas aproximações para os somatórios.
Passo 5
Calcular somatórios e médias:
Passo 6
Calcular
e
. Vou mostrar cada produto
:
Somando:
E
Passo 7
Calcular
e portanto
:
Lembrando que
, obtemos
Explicação: para passar do log ao parâmetro original, usamos a função exponencial
.
Passo 8
Calcular
e portanto
:
Interpretação:
é o log do valor de
quando
; portanto
é o valor ajustado de
em
.
Passo 9
Escrever a curva ajustada e, por segurança, fazer uma checagem rápida com um ponto: para
,
o que está razoavelmente próximo do
dado (lembrando que é ajuste por mínimos quadrados, não passa exatamente por todos os pontos). Acurácia e resíduos podem ser verificados se quiseres.