Ajuste os pontos (-1,1),(-0.5,2),(0,1.5),(0.5,2.5) e (1,2.7) a uma curva da forma y=a b^{x}.
y=1,825(1,556)^{x}

Passo 1

O enunciado pede ajustar os pontos (-1,1), (-0{,}5,2), (0,1{,}5), (0{,}5,2{,}5) e (1,2{,}7) a uma curva da forma \displaystyle y = a\,b^{x}.
Informações dadas:
\; (x_1,y_1)=(-1,1),\; (x_2,y_2)=(-0{,}5,2),\; (x_3,y_3)=(0,1{,}5),\; (x_4,y_4)=(0{,}5,2{,}5),\; (x_5,y_5)=(1,2{,}7).
Pergunta: encontrar os parâmetros \;a e \;b que melhor ajustam esses pontos no sentido dos mínimos quadrados.

Passo 2

Vamos transformar o problema para ficar mais simples: tomar o log natural de ambos os lados da equação \displaystyle y=a\,b^{x}. Isso dá uma relação linear entre \ln y e x. Definimos:
Y=\ln y,\qquad A=\ln a,\qquad B=\ln b.
Substituindo obtemos a forma linear
Y = A + Bx.
Explicação didática: isso significa que ajustar \,y=a b^{x}\, é equivalente a ajustar uma reta \,Y = A + Bx aos pontos (x_i,Y_i), onde Y_i=\ln y_i. Depois de achar A e B fazemos a=e^{A} e b=e^{B}.

Passo 3

Fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados (explicando cada variável):
B = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(Y_i-\bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}},\qquad A = \bar{Y} - B\bar{x},
onde \;n é o número de pontos, \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i e \bar{Y}=\dfrac{1}{n}\sum Y_i.
Observação prática: no nosso conjunto \sum x_i = -1-0{,}5+0+0{,}5+1 = 0, logo \bar{x}=0. Isso simplifica as fórmulas para
B = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i Y_i}{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}},\qquad A=\bar{Y}.
Explicação: quando \bar{x}=0 a reta passa por (0,\bar{Y}) em termos do ajuste linear.

Passo 4

Calcular Y_i=\ln y_i para cada ponto (uso de log natural \ln). Vou mostrar cada valor com aproximação razoável:
\begin{aligned} Y_1&=\ln(1)=0{,}000000,\\\ Y_2&=\ln(2)=0{,}693147,\\\ Y_3&=\ln(1{,}5)=0{,}405465,\\\ Y_4&=\ln(2{,}5)=0{,}916291,\\\ Y_5&=\ln(2{,}7)=0{,}993252. \end{aligned}
Esses valores foram obtidos aplicando a função \ln a cada y_i. Vou usar essas aproximações para os somatórios.

Passo 5

Calcular somatórios e médias:
\sum_{i=1}^{5} x_i = -1 -0{,}5 +0 +0{,}5 +1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \bar{x}=0.
\sum_{i=1}^{5} Y_i = 0 + 0{,}693147 + 0{,}405465 + 0{,}916291 + 0{,}993252 = 3{,}008154.
\bar{Y} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} Y_i = \frac{3{,}008154}{5} = 0{,}601631.

Passo 6

Calcular \sum x_i Y_i e \sum x_i^{2}. Vou mostrar cada produto x_iY_i:
\begin{aligned} x_1Y_1 &= (-1)\cdot 0{,}000000 = 0{,}000000,\\\ x_2Y_2 &= (-0{,}5)\cdot 0{,}693147 = -0{,}3465735,\\\ x_3Y_3 &= 0\cdot 0{,}405465 = 0{,}000000,\\\ x_4Y_4 &= 0{,}5\cdot 0{,}916291 = 0{,}4581455,\\\ x_5Y_5 &= 1\cdot 0{,}993252 = 0{,}9932520. \end{aligned}
Somando:
\sum_{i=1}^{5} x_iY_i = -0{,}3465735 + 0{,}4581455 + 0{,}9932520 = 1{,}104824.
E
\sum_{i=1}^{5} x_i^{2} = 1 + 0{,}25 + 0 + 0{,}25 + 1 = 2{,}5.

Passo 7

Calcular B e portanto b:
B = \frac{\sum x_iY_i}{\sum x_i^{2}} = \frac{1{,}104824}{2{,}5} = 0{,}4419296.
Lembrando que B=\ln b, obtemos
b = e^{B} = e^{0{,}4419296} \approx 1{,}55556 \approx 1{,}556.
Explicação: para passar do log ao parâmetro original, usamos a função exponencial e^{(\cdot)}.

Passo 8

Calcular A e portanto a:
A = \bar{Y} = 0{,}601631.
a = e^{A} = e^{0{,}601631} \approx 1{,}82507 \approx 1{,}825.
Interpretação: A é o log do valor de y quando x=0; portanto a é o valor ajustado de y em x=0.

Passo 9

Escrever a curva ajustada e, por segurança, fazer uma checagem rápida com um ponto: para x=1,
\hat{y}(1)=a\,b^{1}\approx 1{,}825\cdot 1{,}556 \approx 2{,}84,
o que está razoavelmente próximo do y_5=2{,}7 dado (lembrando que é ajuste por mínimos quadrados, não passa exatamente por todos os pontos). Acurácia e resíduos podem ser verificados se quiseres.

Resposta

y=1{,}825\,(1{,}556)^{x}

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