Maria foi trabalhar e deixou dinheiro para seus três filhos com este bilhete: “Dividam igualmente o dinheiro. Beijos”. O primeiro filho chegou, pegou sua parte do dinheiro e saiu. O segundo chegou e não viu ninguém. Pensando que era o primeiro, pegou sua parte do dinheiro que tinha e saiu. O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Achou que era o último, pegou tudo e saiu. Quanto dinheiro a mãe deixou inicialmente para os filhos?
(A) 45
(B) 60 (C) 75
(D) 90 (E ) 105

Passo 1

O enunciado pergunta quanto dinheiro a mãe deixou inicialmente para os três filhos. As informações relevantes são:
  • A mãe deixou um montante de dinheiro para ser dividido igualmente entre três filhos.
  • O primeiro filho chegou, pegou a sua parte e saiu.
  • O segundo chegou, não viu ninguém e, pensando que era o primeiro, pegou a sua parte do dinheiro que estava ali naquele momento e saiu.
  • O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais e, achando que era o último, pegou tudo e saiu.
    A missão é descobrir o valor inicial deixado pela mãe, usando essas informações.

Passo 2

Vamos nomear a quantidade de dinheiro que a mãe deixou inicialmente por T. Isso nos ajuda a trabalhar com símbolos e a escrever equações simples.
Quando a mãe pede para “dividam igualmente” entre três filhos, a parte de cada um, em condições ideais, seria \dfrac{T}{3}.

Passo 3

O primeiro filho chegou primeiro e pegou a sua parte correta, que é \dfrac{T}{3}.
O que ficou depois da saída do primeiro filho é:
\text{restante após 1º} = T - \dfrac{T}{3}.óº
Vamos simplificar isso: \dfrac{T}{3}= \dfrac{1}{3}T, então
T - \dfrac{T}{3} = \dfrac{3T}{3} - \dfrac{T}{3} = \dfrac{2T}{3}.

Passo 4

O segundo filho chegou e, não vendo ninguém, pensou que era o primeiro. Pelo enunciado, ele pegou “sua parte do dinheiro que tinha” no momento — isto é, ele pegou um terço do que havia naquele instante. Como havia \dfrac{2T}{3} naquele instante, a parte que ele pegou foi:
\text{parte do 2º} = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2T}{3} = \dfrac{2T}{9}.º
O que ficou após a saída do segundo filho é:
\text{restante após 2º} = \dfrac{2T}{3} - \dfrac{2T}{9}.óº
Para subtrair, colocamos em denominador comum 9:
\dfrac{2T}{3} = \dfrac{6T}{9},
portanto
\text{restante após 2º} = \dfrac{6T}{9} - \dfrac{2T}{9} = \dfrac{4T}{9}.óº

Passo 5

O terceiro encontrou 4 notas de 5 reais. Logo, o total que ele encontrou (ou seja, o que restou após o segundo filho) é:
4 \times 5 = 20 \text{ reais}.
Pelo passo anterior sabemos que esse restante é \dfrac{4T}{9}. Assim montamos a equação
\dfrac{4T}{9} = 20.

Passo 6

Agora resolvemos a equação para encontrar T.
Multiplicando ambos os lados por 9:
4T = 20 \times 9 = 180.
Dividindo ambos os lados por 4:
T = \dfrac{180}{4} = 45.

Passo 7

Fazendo uma checagem rápida para ver se tudo bate:
  • Se T = 45, cada parte deveria ser \dfrac{45}{3}=15.
  • Primeiro pega 15, sobra 30.
  • Segundo, pensando ser o primeiro, pega um terço de 30, ou seja 10, sobrando 20.
  • Terceiro encontra 20 (que são as 4 notas de 5 reais) e pega tudo. Consistente!

Resposta

(A) \,45

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