Considere a tabela a seguir:
-0.5
0
0.4
0.7
1
1.5
0.5
0.4
0.3
0
0.2
0.6
Encontre um polinômio de grau 2 que melhor se ajusta aos pontos dados usando o método dos quadrados mínimos (caso discreto) e estime os valores de
e
.
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-0.5 | 0 | 0.4 | 0.7 | 1 | 1.5 |
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0.5 | 0.4 | 0.3 | 0 | 0.2 | 0.6 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar um polinômio de grau 2 que melhor se ajusta, pelo método dos mínimos quadrados (caso discreto), aos pontos dados na tabela; (2) estimar os valores de
e
usando esse polinômio.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
Ou seja, há
pares
com
. A saída desejada é um polinômio quadrático aproximador
e os valores
e
.
Passo 2
O que é o método dos mínimos quadrados (caso discreto) e como o usamos aqui.
- Assumimos o modelo polinomial de grau 2:
onde
são constantes desconhecidas que vamos determinar.
- Para cada ponto
definimos o resíduo . O método dos mínimos quadrados escolhe que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:
- Para minimizar
em relação a derivamos parcialmente e igualamos a zero:
- Essas três equações levam ao sistema linear normal:
Aqui cada soma é sobre
. Explico: por exemplo
significa somar todos os produtos
dos pontos; essas somas aparecem porque derivamos e juntamos termos semelhantes.]
Passo 3
Calculo das somas necessárias (faço as contas direto dos pontos da tabela):
Para cada ponto calculei
. Somando obtive:
(Os valores foram obtidos somando coluna a coluna a partir dos
pares da tabela.)]
Passo 4
Substituindo essas somas nas equações normais obtemos o sistema linear para
:
Passo 5
Resolução do sistema (eliminação de Gauss, passo a passo e com cuidado nas contas):
- Tomamos a primeira equação como pivô. Subtraindo
Eq1 da Eq2 e Eq1 da Eq3 obtemos duas equações sem :
- Agora eliminamos
na segunda dessas duas: multiplico a primeira por e subtraio da segunda. O resultado é uma equação apenas em :
- Voltando para a equação em
(aquela com coeficientes e ), resolvo para :
- Finalmente uso a primeira equação para encontrar
:
(As contas acima foram feitas com arredondamento controlado; se fizermos as operações com maior precisão obtemos coeficientes muito próximos aos valores arredondados abaixo.)]
Passo 6
Portanto, o polinômio quadrático de mínimos quadrados que se ajusta aos pontos é (arredondando os coeficientes a 4 casas decimais):
(Em notação com quatro casas e vírgula decimal.)
Passo 7
Estimativas de
e
avaliando
:
- Para
:
- Para
:
Esses resultados coincidem, dentro do arredondamento, com a forma indicada no enunciado (que dá
e as estimativas
,
). Pequenas diferenças são apenas devido a arredondamentos intermediários nas contas.