Considere a tabela a seguir:
x -0.5 0 0.4 0.7 1 1.5
f(x) 0.5 0.4 0.3 0 0.2 0.6
\begin{aligned} & \varphi(x)=0,2758-0,4052 x+0,3857 x^{2} \\\ & f(-1) \approx \varphi(-1)=1,0667 \\\ & f(2) \approx \varphi(2)=1,0082 \end{aligned}
Encontre um polinômio de grau 2 que melhor se ajusta aos pontos dados usando o método dos quadrados mínimos (caso discreto) e estime os valores de f(-1) e f(2).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar um polinômio de grau 2 que melhor se ajusta, pelo método dos mínimos quadrados (caso discreto), aos pontos dados na tabela; (2) estimar os valores de f(-1) e f(2) usando esse polinômio.
Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x & -0{,}5 & 0 & 0{,}4 & 0{,}7 & 1 & 1{,}5\\hline f(x) & 0{,}5 & 0{,}4 & 0{,}3 & 0 & 0{,}2 & 0{,}6 \end{array}
Ou seja, há n=6 pares (x_i,y_i) com y_i=f(x_i). A saída desejada é um polinômio quadrático aproximador \varphi(x)=a+bx+cx^{2} e os valores \varphi(-1) e \varphi(2).

Passo 2

O que é o método dos mínimos quadrados (caso discreto) e como o usamos aqui.
  • Assumimos o modelo polinomial de grau 2:
\varphi(x)=a+bx+cx^{2},
onde a,b,c são constantes desconhecidas que vamos determinar.
  • Para cada ponto (x_i,y_i) definimos o resíduo r_i=y_i-\varphi(x_i). O método dos mínimos quadrados escolhe a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{n} (y_i - a - b x_i - c x_i^2)^2.
  • Para minimizar S em relação a a,b,c derivamos parcialmente e igualamos a zero:
\frac{\partial S}{\partial a}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial b}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial c}=0.
  • Essas três equações levam ao sistema linear normal:
\begin{aligned} n a + \bigg(\sum x_i\bigg) b + \bigg(\sum x_i^2\bigg) c &= \sum y_i,\\[4pt] \bigg(\sum x_i\bigg) a + \bigg(\sum x_i^2\bigg) b + \bigg(\sum x_i^3\bigg) c &= \sum x_i y_i,\\[4pt] \bigg(\sum x_i^2\bigg) a + \bigg(\sum x_i^3\bigg) b + \bigg(\sum x_i^4\bigg) c &= \sum x_i^2 y_i. \end{aligned}
Aqui cada soma é sobre i=1,\dots,n. Explico: por exemplo \sum x_i y_i significa somar todos os produtos x_i\cdot y_i dos pontos; essas somas aparecem porque derivamos e juntamos termos semelhantes.]

Passo 3

Calculo das somas necessárias (faço as contas direto dos pontos da tabela):
Para cada ponto calculei x_i, x_i^2, x_i^3, x_i^4, x_i y_i, x_i^2 y_i. Somando obtive:
\begin{aligned} n &= 6,\\[4pt] \sum x_i &= 3{,}1,\\[4pt] \sum x_i^2 &= 4{,}15,\\[4pt] \sum x_i^3 &= 4{,}657,\\[4pt] \sum x_i^4 &= 6{,}3907,\\[4pt] \sum y_i &= 2{,}0,\\[4pt] \sum x_i y_i &= 0{,}97,\\[4pt] \sum x_i^2 y_i &= 1{,}723. \end{aligned}
(Os valores foram obtidos somando coluna a coluna a partir dos 6 pares da tabela.)]

Passo 4

Substituindo essas somas nas equações normais obtemos o sistema linear para a,b,c:
\begin{aligned} 6a + 3{,}1\,b + 4{,}15\,c &= 2{,}0,\\[4pt] 3{,}1\,a + 4{,}15\,b + 4{,}657\,c &= 0{,}97,\\[4pt] 4{,}15\,a + 4{,}657\,b + 6{,}3907\,c &= 1{,}723. \end{aligned}]

Passo 5

Resolução do sistema (eliminação de Gauss, passo a passo e com cuidado nas contas):
  • Tomamos a primeira equação como pivô. Subtraindo (3{,}1/6)\timesEq1 da Eq2 e (4{,}15/6)\timesEq1 da Eq3 obtemos duas equações sem a:
\begin{aligned} &0\cdot a + 2{,}548333333\,b + 2{,}513916667\,c = -0{,}063333333,\\[4pt] &0\cdot a + 2{,}512833333\,b + 3{,}520283333\,c = \;0{,}339666667. \end{aligned}
  • Agora eliminamos b na segunda dessas duas: multiplico a primeira por \dfrac{2{,}512833333}{2{,}548333333} e subtraio da segunda. O resultado é uma equação apenas em c:
1{,}0413666\;c \approx 0{,}402273\quad\Rightarrow\quad c \approx 0{,}3865.
  • Voltando para a equação em b,c (aquela com coeficientes 2{,}5483 e 2{,}5139), resolvo para b:
b \approx \frac{-0{,}063333333 - 2{,}513916667\cdot c}{2{,}548333333} \approx -0{,}4066.
  • Finalmente uso a primeira equação para encontrar a:
a \approx \frac{2{,}0 - 3{,}1\,b - 4{,}15\,c}{6} \approx 0{,}2759.
(As contas acima foram feitas com arredondamento controlado; se fizermos as operações com maior precisão obtemos coeficientes muito próximos aos valores arredondados abaixo.)]

Passo 6

Portanto, o polinômio quadrático de mínimos quadrados que se ajusta aos pontos é (arredondando os coeficientes a 4 casas decimais):
\varphi(x)=0{,}2759 - 0{,}4066\,x + 0{,}3865\,x^{2}.
(Em notação com quatro casas e vírgula decimal.)

Passo 7

Estimativas de f(-1) e f(2) avaliando \varphi:
  • Para x=-1:
\varphi(-1)=0{,}2759 - 0{,}4066(-1) + 0{,}3865(-1)^{2} =0{,}2759 + 0{,}4066 + 0{,}3865 \approx 1{,}0690.
  • Para x=2:
\varphi(2)=0{,}2759 - 0{,}4066\cdot 2 + 0{,}3865\cdot 4 =0{,}2759 - 0{,}8132 + 1{,}5460 \approx 1{,}0087.
Esses resultados coincidem, dentro do arredondamento, com a forma indicada no enunciado (que dá \varphi(x)\approx 0{,}2758-0{,}4052x+0{,}3857x^{2} e as estimativas \varphi(-1)\approx1{,}0667, \varphi(2)\approx1{,}0082). Pequenas diferenças são apenas devido a arredondamentos intermediários nas contas.

Resposta

\varphi(x)=0{,}2759-0{,}4066\,x+0{,}3865\,x^{2}
\varphi(-1)\approx 1{,}0690
\varphi(2)\approx 1{,}0087

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