Aproxime a função f(x)=2 e^{2 x} no intervalo [0,1] por um polinômio de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados (caso contínuo).
P_{2}(x)=2,334+0,33 x+11,67 x^{2}

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pede: aproximar a função \;f(x)=2e^{2x}\; no intervalo [0,1] por um polinômio de grau 2 usando mínimos quadrados no caso contínuo (projeção em L^2[0,1]).
  • Dado: a função \;f(x)=2e^{2x}\; e o intervalo [0,1].
  • Forma da aproximação procurada: um polinômio
P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},
onde os coeficientes \;a_{0},a_{1},a_{2}\; devem minimizar
\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-P_{2}(x)\bigr)^{2}\,dx.

Passo 2

Princípio do método e equações normais (o “como” matemático).
  • Para mínimos quadrados no caso contínuo usamos o produto interno
\langle g,h\rangle=\int_{0}^{1}g(x)h(x)\,dx.
  • A condição de projeção (ou condição de mínimos quadrados) diz que o resíduo f-P_{2} é ortogonal a todas as funções da base escolhida. Com a base natural \{1,x,x^{2}\} isso dá as equações normais
\langle f,1\rangle=\langle P_{2},1\rangle,\qquad \langle f,x\rangle=\langle P_{2},x\rangle,\qquad \langle f,x^{2}\rangle=\langle P_{2},x^{2}\rangle.
  • Escrevendo \langle P_{2},\varphi\rangle=a_{0}\langle 1,\varphi\rangle+a_{1}\langle x,\varphi\rangle+a_{2}\langle x^{2},\varphi\rangle obtemos um sistema linear do tipo G\mathbf{a}=\mathbf{b}, onde G é a matriz de Gram com entradas \langle x^{i},x^{j}\rangle (para i,j=0,1,2) e \mathbf{b} tem entradas \langle f,x^{i}\rangle.

Passo 3

Calcular os elementos da matriz de Gram (integrais puras de potências).
  • Calculemos as integrais básicas (todas em [0,1]):
\langle 1,1\rangle=\int_{0}^{1}1\,dx=1,
\langle 1,x\rangle=\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2},
\langle 1,x^{2}\rangle=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3},
\langle x,x\rangle=\int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\frac{1}{3},
\langle x,x^{2}\rangle=\int_{0}^{1}x^{3}\,dx=\frac{1}{4},
\langle x^{2},x^{2}\rangle=\int_{0}^{1}x^{4}\,dx=\frac{1}{5}.
Portanto a matriz de Gram é
G=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \\\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} \\\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular o vetor \mathbf{b} com as integrais \langle f,x^{i}\rangle (aqui ensino integração por partes quando necessário).
Vamos colocar E:=e^{2} para simplificar as contas simbólicas.
  • Primeiro \langle f,1\rangle=\int_{0}^{1}2e^{2x}\,dx.
    • Como \int e^{2x}\,dx=\tfrac{1}{2}e^{2x}, temos
    \langle f,1\rangle=2\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{2x}\bigr)\Big|_{0}^{1}=e^{2}-1=E-1.
  • Segundo \langle f,x\rangle=\int_{0}^{1}2x e^{2x}\,dx.
    • Use integração por partes: tome u=x, dv=e^{2x}dx. Então du=dx, v=\tfrac{1}{2}e^{2x}.
    • Assim \int x e^{2x}dx=\tfrac{x e^{2x}}{2}-\int \tfrac{e^{2x}}{2}dx=\tfrac{x e^{2x}}{2}-\tfrac{e^{2x}}{4}+C.
    • Multiplicando por 2 obtemos
    \langle f,x\rangle= \bigl(x e^{2x}-\tfrac{e^{2x}}{2}\bigr)\Big|_{0}^{1}=\bigl(e^{2}-\tfrac{e^{2}}{2}\bigr)-\bigl(0-\tfrac{1}{2}\bigr)=\frac{E+1}{2}.
  • Terceiro \langle f,x^{2}\rangle=\int_{0}^{1}2x^{2}e^{2x}\,dx.
    • Integramos por partes duas vezes ou usamos uma forma repetida. Faço direto o resultado da primeira integração por partes seguida de substituição:
    \int x^{2}e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}\Bigl(\frac{x^{2}}{1}-\frac{x}{1}+\frac{1}{4}\Bigr)+C =e^{2x}\Bigl(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\Bigr)+C.
    • Multiplicando por 2,
    \langle f,x^{2}\rangle=e^{2x}\bigl(x^{2}-x+\tfrac{1}{2}\bigr)\Big|_{0}^{1} =E\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{E-1}{2}.
Portanto o vetor \mathbf{b} é
\mathbf{b}=\begin{pmatrix}E-1\\[4pt]\dfrac{E+1}{2}\\[6pt]\dfrac{E-1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrever o sistema linear explícito e multiplicar por constantes convenientes para facilitar cálculo.
As equações normais são G\mathbf{a}=\mathbf{b}\), isto é \[\begin{cases} a_{0}+\tfrac{1}{2}a_{1}+\tfrac{1}{3}a_{2}=E-1,\\[4pt] \tfrac{1}{2}a_{0}+\tfrac{1}{3}a_{1}+\tfrac{1}{4}a_{2}=\dfrac{E+1}{2},\\[6pt] \tfrac{1}{3}a_{0}+\tfrac{1}{4}a_{1}+\tfrac{1}{5}a_{2}=\dfrac{E-1}{2}. \end{cases}
Multiplicando as equações por 6\], \(12 e 60 respectivamente (para eliminar denominadores) obtemos o sistema equivalente
\begin{cases} 6a_{0}+3a_{1}+2a_{2}=6E-6,\\[4pt] 6a_{0}+4a_{1}+3a_{2}=6E+6,\\[6pt] 20a_{0}+15a_{1}+12a_{2}=30E-30. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema linear passo a passo (eliminação).
  • Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
(6a_{0}+4a_{1}+3a_{2})-(6a_{0}+3a_{1}+2a_{2})= (6E+6)-(6E-6),
portanto
a_{1}+a_{2}=12. \tag{*}
  • Agora usamos a primeira equação para expressar a_{0} em função de a_{2}. Da primeira:
6a_{0}=6E-6-3a_{1}-2a_{2}.
Substituindo a_{1}=12-a_{2} (da equação (*)) temos
6a_{0}=6E-6-3(12-a_{2})-2a_{2}=6E-6-36+3a_{2}-2a_{2}=6E-42+a_{2},
logo
a_{0}=E-7+\tfrac{a_{2}}{6}. \tag{**}
  • Substituímos (*) e (**) na terceira equação (a de 20a_{0}+15a_{1}+12a_{2}=30E-30):
    • Calcule 20a_{0}=20\bigl(E-7+\tfrac{a_{2}}{6}\bigr)=20E-140+\tfrac{20}{6}a_{2}=20E-140+\tfrac{10}{3}a_{2}.
    • Calcule 15a_{1}=15(12-a_{2})=180-15a_{2}.
    • Somando com 12a_{2}
    20E-140+\tfrac{10}{3}a_{2}+180-15a_{2}+12a_{2}=20E+40+\Bigl(\tfrac{10}{3}-3\Bigr)a_{2} =20E+40+\tfrac{1}{3}a_{2}.
    • Igualando a 30E-30 resulta
    20E+40+\tfrac{1}{3}a_{2}=30E-30 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{1}{3}a_{2}=10E-70.
    • Portanto
    a_{2}=30E-210.

Passo 7

Determinar a_{1} e a_{0} a partir de a_{2}.
  • Usando (*):
a_{1}=12-a_{2}=12-(30E-210)=222-30E.
  • Usando (**):
a_{0}=E-7+\tfrac{a_{2}}{6}=E-7+\tfrac{30E-210}{6}=E-7+5E-35=6E-42.
Logo em forma exata (em função de E=e^{2}) os coeficientes são
a_{0}=6e^{2}-42,\qquad a_{1}=222-30e^{2},\qquad a_{2}=30e^{2}-210.

Passo 8

Avaliar numericamente e escrever o polinômio aproximado. (Arredondamentos para 3 casas decimais.)
  • Como e^{2}\approx 7,389056099 (usei aproximação com várias casas), temos
a_{0}=6e^{2}-42\approx 2,334336594,
a_{1}=222-30e^{2}\approx 0,328317032,
a_{2}=30e^{2}-210\approx 11,671682968.
Arredondando para 3 casas decimais (notação com vírgula), obtemos
P_{2}(x)\approx 2,334+0,33x+11,67x^{2}.

Resposta

P_{2}(x)=\bigl(6e^{2}-42\bigr)+\bigl(222-30e^{2}\bigr)x+\bigl(30e^{2}-210\bigr)x^{2}
P_{2}(x)\approx 2,334+0,33x+11,67x^{2}

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