Aproxime a função f(x)=2 e^{2 x} no intervalo [0,1] por um polinômio de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados (caso contínuo). P_{2}(x)=2,334+0,33 x+11,67 x^{2}
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado.
Pede: aproximar a função \;f(x)=2e^{2x}\; no intervalo [0,1] por um polinômio de grau 2 usando mínimos quadrados no caso contínuo (projeção em L^2[0,1]).
Dado: a função \;f(x)=2e^{2x}\; e o intervalo [0,1].
Forma da aproximação procurada: um polinômio
P_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2},
onde os coeficientes \;a_{0},a_{1},a_{2}\; devem minimizar
\int_{0}^{1}\bigl(f(x)-P_{2}(x)\bigr)^{2}\,dx.
Passo 2
Princípio do método e equações normais (o “como” matemático).
Para mínimos quadrados no caso contínuo usamos o produto interno
\langle g,h\rangle=\int_{0}^{1}g(x)h(x)\,dx.
A condição de projeção (ou condição de mínimos quadrados) diz que o resíduo f-P_{2} é ortogonal a todas as funções da base escolhida. Com a base natural \{1,x,x^{2}\} isso dá as equações normais
Escrevendo \langle P_{2},\varphi\rangle=a_{0}\langle 1,\varphi\rangle+a_{1}\langle x,\varphi\rangle+a_{2}\langle x^{2},\varphi\rangle obtemos um sistema linear do tipo G\mathbf{a}=\mathbf{b}, onde G é a matriz de Gram com entradas \langle x^{i},x^{j}\rangle (para i,j=0,1,2) e \mathbf{b} tem entradas \langle f,x^{i}\rangle.
Passo 3
Calcular os elementos da matriz de Gram (integrais puras de potências).
Escrever o sistema linear explícito e multiplicar por constantes convenientes para facilitar cálculo.
As equações normais são G\mathbf{a}=\mathbf{b}\), isto é
\[\begin{cases} a_{0}+\tfrac{1}{2}a_{1}+\tfrac{1}{3}a_{2}=E-1,\\[4pt] \tfrac{1}{2}a_{0}+\tfrac{1}{3}a_{1}+\tfrac{1}{4}a_{2}=\dfrac{E+1}{2},\\[6pt] \tfrac{1}{3}a_{0}+\tfrac{1}{4}a_{1}+\tfrac{1}{5}a_{2}=\dfrac{E-1}{2}. \end{cases}
Multiplicando as equações por 6\], \(12 e 60 respectivamente (para eliminar denominadores) obtemos o sistema equivalente