Suponha que tenhamos um espaço amostral com cinco resultados experimentais igualmente prováveis E1, E2, E3, E4 e E5. Sejam A=E1, E2, B=E3, E4 e C=E2, E3, E5. Pede-se:
ii. Encontre P(A cup B). A e B são mutuamente exclusivos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço amostral com cinco resultados igualmente prováveis: $ E_1, E_2, E_3, E_4 $ e $ E_5 $. As variáveis são $ A = {E_1, E_2} $ e $ B = {E_3, E_4} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a probabilidade de $ A \cup B $ e descobrir se $ A $ e $ B $ são mutuamente exclusivos. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre união de eventos e eventos mutuamente exclusivos na teoria de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar $ P(A \cup B) $. A união de dois eventos, $ A \cup B $, representa todos os resultados que estão em $ A $, em $ B $ ou em ambos. Então, vamos juntar todos os elementos de $ A $ e $ B $.
  • $ A = {E_1, E_2} $
  • $ B = {E_3, E_4} $
Quando unimos $ A $ e $ B $, temos $ A \cup B = {E_1, E_2, E_3, E_4} $.
Agora, como cada resultado tem a mesma probabilidade e temos 5 resultados no total, cada resultado individual tem probabilidade $ \frac{1}{5} $.
Então, a probabilidade de $ A \cup B $ é a soma das probabilidades dos resultados nele contidos:
P(A cup B)

Passo 3

Agora, vamos ver se $ A $ e $ B $ são mutuamente exclusivos. Dois eventos são mutuamente exclusivos se eles não têm nenhum resultado em comum, ou seja, se a interseção entre eles é vazia.
Olha só:
  • $ A = {E_1, E_2} $
  • $ B = {E_3, E_4} $
A interseção $ A \cap B = \emptyset $ (não tem nenhum resultado que está nos dois simultaneamente). Como eles não compartilham nenhum resultado, $ A $ e $ B $ são mutuamente exclusivos.

Resposta

$ P(A \cup B) = \frac{4}{5} $ e $ A $ e $ B $ são mutuamente exclusivos.

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