Um alarme de incêndio toca quando há fogo com 98 \% de chance. Mas ele também pode tocar sem fogo com 3 \% de chance. A probabilidade de haver fogo em um dado momento é 1 \%. Se o alarme tocou, qual a probabilidade de realmente haver fogo?

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades condicionais e a priori de fogo e alarme:
P(F)=0,01, onde F = “há fogo”.
P(A\mid F)=0,98, probabilidade de o alarme tocar se há fogo.
P(A\mid \neg F)=0,03, probabilidade de o alarme tocar sem fogo.
Queremos P(F\mid A), a probabilidade de realmente haver fogo dado que o alarme tocou.

Passo 2

Usamos o Teorema de Bayes para inverter a probabilidade:
P(F\mid A) =\frac{P(A\mid F)\,P(F)}{P(A)}.

Passo 3

Calculamos P(A) pela Lei da Probabilidade Total:
P(A)=P(A\mid F)\,P(F)+P(A\mid \neg F)\,P(\neg F).
Substituindo P(\neg F)=1-P(F)=0,99, temos
P(A)=0,98\cdot0,01 + 0,03\cdot0,99.

Passo 4

Avaliar numericamente:
P(A)=0,0098 + 0,0297 = 0,0395,
P(F\mid A) =\frac{0,98\cdot0,01}{0,0395} =\frac{0,0098}{0,0395}\approx0,2481.

Resposta

A probabilidade de haver fogo dado que o alarme tocou é aproximadamente 0,248 (ou 24{,}8\%).

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