Um sistema de e-mail marca 90 \% dos spams como tal, e 5% dos e-mails legítimos são marcados erroneamente. Sabemos que 30 \% dos e-mails são spam. Um e-mail é marcado como spam. Qual a chance de realmente ser spam?

Passo 1

O enunciado diz que um sistema de e-mail marca corretamente 90\% dos spams e incorretamente 5\% dos e-mails legítimos. Além disso, sabemos que 30\% de todos os e-mails são spam. A pergunta é: dado que um e-mail foi marcado como spam, qual é a probabilidade de ele realmente ser spam? O conteúdo utilizado será probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Vamos definir os eventos:
S: o e-mail é spam.
M: o e-mail é marcado como spam.
Do enunciado temos
P(M\mid S) = 0{,}9,
P(M\mid S^c) = 0{,}05,
P(S) = 0{,}3,
P(S^c)=1-P(S)=0{,}7.

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes, a probabilidade desejada é
P(S\mid M) = \frac{P(M\mid S)\,P(S)}{P(M)}.
Para usar essa fórmula, precisamos de P(M), que vem da probabilidade total:
P(M)=P(M\mid S)\,P(S)+P(M\mid S^c)\,P(S^c).

Passo 4

Calculando P(M):
P(M)=0{,}9 \times 0{,}3 + 0{,}05 \times 0{,}7 =0{,}27 + 0{,}035 =0{,}305.
Logo,
P(S\mid M) =\frac{0{,}9\times0{,}3}{0{,}305} =\frac{0{,}27}{0{,}305} \approx0{,}8852.

Resposta

A chance de o e-mail marcado como spam ser realmente spam é de aproximadamente 88,52\%.

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