Há duas urnas:
a) Urna A: 2 bolas vermelhas e 3 pretas
b) Urna B: 1 bola vermelha e 1 preta
Escolhe-se uma urna ao acaso e retira-se uma bola vermelha. Qual a probabilidade de ter sido da urna A ?

Passo 1

O enunciado descreve duas urnas e diz que escolhemos uma urna ao acaso (com probabilidade igual para cada uma) e, em seguida, retiramos uma bola vermelha. Queremos calcular a probabilidade de que essa bola vermelha tenha vindo da urna A. O conteúdo usado será probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Chamemos de A o evento “escolher a urna A” e de B o evento “escolher a urna B”. Como a escolha é ao acaso entre as duas urnas, temos
P(A) = \tfrac12, \quad P(B) = \tfrac12.

Passo 3

Precisamos das probabilidades de tirar uma bola vermelha em cada urna:
P(\text{vermelha}\mid A) = \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}, \qquad P(\text{vermelha}\mid B) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Pela regra da probabilidade total, a chance de retirar uma bola vermelha é
P(\text{vermelha}) = P(\text{vermelha}\mid A)\,P(A) + P(\text{vermelha}\mid B)\,P(B) = \frac{2}{5}\cdot\frac12 + \frac{1}{2}\cdot\frac12 = \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{9}{20}.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Bayes para achar P(A\mid \text{vermelha}):
P(A\mid \text{vermelha}) = \frac{P(\text{vermelha}\mid A)\,P(A)}{P(\text{vermelha})} = \frac{\frac{2}{5}\cdot\frac12}{\frac{9}{20}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{9}{20}} = \frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

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