a) Uma alavanca (ou uma barra, ou uma viga) (de massa desprezível) pode girar em torno de um suporte. As forças verticais (sentido -j ) F1, F2, F3, cdots, F10 são aplicadas na alavanca.
i) Determine a localização do suporte (A) de tal maneira que o sistema esteja em equilíbrio mecânico. Encontre a magnitude da força A.
Dica: Use o símbolo de sum para escrever menos.
b) Considere que agora temos N forças verticais ( j ) aplicadas na alavanca. Novamente por equilíbrio de forças e torques mostre que A=sumi=1^N fi e xA= L.
c) O que acontece quando temos uma distribuição contínua de força ao longo do comprimento da barra?

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre uma alavanca de massa desprezível girando num ponto de apoio, com várias forças verticais para baixo aplicadas nela. A ideia é usar a matéria de “equilíbrio estático” (somatório de forças e somatório de torques) para:
  1. Na parte (a), achar onde coloco o apoio (posição ) e qual a reação vertical .
  2. Na parte (b), generalizar para forças e mostrar as fórmulas gerais.
  3. Na parte ©, estender para um caso contínuo de distribuição de força ao longo de um comprimento .
Para isso vamos precisar entender e aplicar:
  • Equilíbrio de forças (∑F = 0).
  • Equilíbrio de torques (∑τ = 0), onde torque é força vezes braço de alavanca.

Passo 2

Resolvendo a parte (a) com as 10 forças sum Fy = 0 Rightarrow A - sumi=1^10Fi = 0 Rightarrow A = sumi=1^10Fi :
  1. Equilíbrio de forças verticais:
    Como todas as sumi=1^10 taui = 0 Rightarrow sumi=1^10 Fi,(xi - xA) = 0 Rightarrow sumi=1^10Fi,xi ;-; xAsumi=1^10Fi = 0 apontam para baixo ( xA = sumi=1^10Fi,xisumi=1^10Fi ), a reação do apoio aponta para cima ( ).
  2. Equilíbrio de torques em torno do apoio:
    • O torque de cada em relação a é .
    • Para não girar, ∑τ = 0:
    Resolvendo para :

Passo 3

Na parte (b) é só repetir o raciocínio para A = sumi=1^N fi forças xA = sumi=1^N fi,xisumi=1^N fi nos pontos :
  1. Equilíbrio de forças:
  2. Equilíbrio de torques:

Passo 4

Na parte © passamos do somatório para a integral, considerando uma densidade de força A = integral0^L f(x),dx ao longo de xA ;=; integral0^L x,f(x),dx integral0^L f(x),dx :
  1. Força total:
  2. Torque resultante (braço de alavanca contínuo):

Resposta

Parte (a):
A = sumi=1^10Fi, xA = sumi=1^10Fi,xisumi=1^10Fi
Parte (b):
A = sumi=1^Nfi, xA = sumi=1^Nfi,xisumi=1^Nfi
Parte ©:
A = integral0^Lf(x),dx, xA = integral0^Lx,f(x),dxintegral0^Lf(x),dx

Exercícios relacionados