Alberto, Bernardo, Caio e Daniel vão ao supermercado comprar os mesmos três itens pelos mesmos preços unitários. A tabela a seguir apresenta a quantidade de cada item comprado por cada um deles e o valor total gasto por Alberto e Bernardo.
Item 1 Item 2 Item 3 Total
Alberto 11 5 9 68,00$
Bernardo 6 3 5 38,00$
Caio 7 10 8
Daniel 5 8 7
Com base nas informações da tabela determine, se possível, o valor total gasto por Caio e o valor total gasto por Daniel.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. Temos quatro pessoas — Alberto, Bernardo, Caio e Daniel — que compraram os mesmos três itens no supermercado, cada um pagando preços diferentes por unidade. A tabela mostra quantas unidades de cada item cada pessoa comprou e o total que Alberto e Bernardo gastaram. Nosso objetivo é descobrir quanto Caio e Daniel gastaram no total. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra, especificamente a resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos. Vamos chamar os preços unitários dos itens de p1 , p2 e p3 .
A tabela nos dá as seguintes informações:
  • Alberto:
11p1 + 5p2 + 9p3 = 68
  • Bernardo:
6p1 + 3p2 + 5p3 = 38
Essas são duas equações com três incógnitas. Para resolver o sistema, precisamos de mais informações, mas como estamos procurando apenas os valores totais para Caio e Daniel, podemos resolver essas equações para encontrar os preços unitários e depois aplicar para Caio e Daniel.

Passo 3

Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Podemos dividir a segunda equação por 3 para simplificar:
2p1 + p2 + 53p3 = 383
Mas para evitar frações, vamos multiplicar a segunda equação original por 2:
12p1 + 6p2 + 10p3 = 76
Agora, vamos multiplicar a primeira equação por 2 também:
22p1 + 10p2 + 18p3 = 136
Agora, temos:
  1. 22p1 + 10p2 + 18p3 = 136
  2. 12p1 + 6p2 + 10p3 = 76

Passo 4

Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar algumas variáveis:
(22p1 + 10p2 + 18p3) - (12p1 + 6p2 + 10p3) = 136 - 76
Isso simplifica para:
10p1 + 4p2 + 8p3 = 60
Podemos simplificar ainda mais dividindo toda a equação por 2:
5p1 + 2p2 + 4p3 = 30

Passo 5

Agora, temos:
  1. 5p1 + 2p2 + 4p3 = 30
  2. 6p1 + 3p2 + 5p3 = 38
Vamos usar a primeira equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para p2 :
2p2 = 30 - 5p1 - 4p3
p2 = 30 - 5p1 - 4p32

Passo 6

Agora, substituímos p2 na segunda equação:
6p1 + 3(30 - 5p1 - 4p32) + 5p3 = 38
Multiplicamos para eliminar o denominador:
6p1 + 90 - 15p1 - 12p32 + 5p3 = 38
12p1 + 90 - 15p1 - 12p3 + 10p3 = 76
Simplificando:
-3p1 - 2p3 = -14
3p1 + 2p3 = 14

Passo 7

Agora, podemos expressar p3 em termos de p1 :
2p3 = 14 - 3p1
p3 = 14 - 3p12
Vamos substituir p3 de volta na expressão para p2 :
p2 = 30 - 5p1 - 4(14 - 3p12)2
p2 = 30 - 5p1 - 28 + 6p12
p2 = 2 + p12

Passo 8

Agora, temos expressões para p2 e p3 em termos de p1 . Vamos escolher um valor para p1 que satisfaça as condições do problema. No entanto, para simplificar, vamos assumir que os preços são números inteiros.
Vamos tentar p1 = 2 :
p2 = 2 + 22 = 2
p3 = 14 - 62 = 4
Vamos verificar se esses valores satisfazem as equações originais:
Para Alberto:
11(2) + 5(2) + 9(4) = 22 + 10 + 36 = 68 (Correto)
Para Bernardo:
6(2) + 3(2) + 5(4) = 12 + 6 + 20 = 38 (Correto)

Passo 9

Agora que encontramos os preços unitários:
p1 = R$2,00
p2 = R$2,00
p3 = R$4,00
Podemos calcular o total gasto por Caio e Daniel.
Para Caio:
7p1 + 10p2 + 8p3 = 7(2) + 10(2) + 8(4) = 14 + 20 + 32 = R$66,00
Para Daniel:
5p1 + 8p2 + 7p3 = 5(2) + 8(2) + 7(4) = 10 + 16 + 28 = R$54,00

Resposta

Caio gastou no total R$66,00 e Daniel gastou no total R$54,00.

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