Alberto, Bernardo, Caio e Daniel vão ao supermercado comprar os mesmos três itens pelos mesmos preços unitários. A tabela a seguir apresenta a quantidade de cada item comprado por cada um deles e o valor total gasto por Alberto e Bernardo.
Item 1 | Item 2 | Item 3 | Total | |
---|---|---|---|---|
Alberto | 11 | 5 | 9 |
|
Bernardo | 6 | 3 | 5 |
|
Caio | 7 | 10 | 8 | |
Daniel | 5 | 8 | 7 |
Com base nas informações da tabela determine, se possível, o valor total gasto por Caio e o valor total gasto por Daniel.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. Temos quatro pessoas — Alberto, Bernardo, Caio e Daniel — que compraram os mesmos três itens no supermercado, cada um pagando preços diferentes por unidade. A tabela mostra quantas unidades de cada item cada pessoa comprou e o total que Alberto e Bernardo gastaram. Nosso objetivo é descobrir quanto Caio e Daniel gastaram no total. Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra, especificamente a resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos. Vamos chamar os preços unitários dos itens de
,
e
.
A tabela nos dá as seguintes informações:
- Alberto:
- Bernardo:
Essas são duas equações com três incógnitas. Para resolver o sistema, precisamos de mais informações, mas como estamos procurando apenas os valores totais para Caio e Daniel, podemos resolver essas equações para encontrar os preços unitários e depois aplicar para Caio e Daniel.
Passo 3
Vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Podemos dividir a segunda equação por 3 para simplificar:
Mas para evitar frações, vamos multiplicar a segunda equação original por 2:
Agora, vamos multiplicar a primeira equação por 2 também:
Agora, temos:
Passo 4
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar algumas variáveis:
Isso simplifica para:
Podemos simplificar ainda mais dividindo toda a equação por 2:
Passo 5
Agora, temos:
Vamos usar a primeira equação para expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, podemos resolver para
:
Passo 6
Agora, substituímos
na segunda equação:
Multiplicamos para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 7
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Vamos substituir
de volta na expressão para
:
Passo 8
Agora, temos expressões para
e
em termos de
. Vamos escolher um valor para
que satisfaça as condições do problema. No entanto, para simplificar, vamos assumir que os preços são números inteiros.
Vamos tentar
:
Vamos verificar se esses valores satisfazem as equações originais:
Para Alberto:
Para Bernardo:
Passo 9
Agora que encontramos os preços unitários:
Podemos calcular o total gasto por Caio e Daniel.
Para Caio:
Para Daniel:
Resposta
Caio gastou no total R$66,00 e Daniel gastou no total R$54,00.