Sejam
um número real e
um elemento de um
-espaço vetorial
. Mostre que, se
então
ou
é o vetor nulo de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em um
-espaço vetorial
, dadas um escalar
e um vetor
, a condição
implica que
ou
. Vamos usar as propriedades de espaços vetoriais: existência do elemento neutro e inverso multiplicativo nos escalares e associatividade da multiplicação escalar.
Passo 2
Suponha primeiro que
Então já temos
, e a conclusão “
ou
” vale imediatamente.
Passo 3
Agora suponha que
Como
é um real não nulo, existe seu inverso multiplicativo
. Multiplicando a hipótese
pelo escalar
, obtemos
Pela associatividade da multiplicação escalar, isso vira
Como
, segue
e pelo fato de
ser o escalar neutro, concluímos
Resposta
Em qualquer caso, deduzimos que
ou
, como era para mostrar.