Sejam a um número real e v um elemento de um R-espaço vetorial V. Mostre que, se av=0 então a=0 ou v é o vetor nulo de V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em um R-espaço vetorial V, dadas um escalar ainR e um vetor vin V, a condição
av=0
implica que a=0 ou v=0. Vamos usar as propriedades de espaços vetoriais: existência do elemento neutro e inverso multiplicativo nos escalares e associatividade da multiplicação escalar.

Passo 2

Suponha primeiro que
a=0
Então já temos a=0, e a conclusão “ a=0 ou v=0” vale imediatamente.

Passo 3

Agora suponha que
aneq 0
Como a é um real não nulo, existe seu inverso multiplicativo a^-1. Multiplicando a hipótese av=0 pelo escalar a^-1, obtemos
a^-1(av)=a^-10
Pela associatividade da multiplicação escalar, isso vira
(a^-1a)v=0
Como a^-1a=1, segue
1,v=0,
e pelo fato de 1 ser o escalar neutro, concluímos
v=0

Resposta

Em qualquer caso, deduzimos que a=0 ou v=0, como era para mostrar.

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