alcule o valor da integral:
\int_{0}^{1} x \cos (\pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\cos\bigl(\pi x\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de produto de funções, e a técnica mais direta aqui é integração por partes.

Passo 2

Para aplicar integração por partes, fazemos as escolhas u = x e dv = \cos(\pi x)\,dx.
Então
du = dx, \qquad v = \int \cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x).

Passo 3

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Logo
\int_{0}^{1} x\cos(\pi x)\,dx = \left.\,x\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\,dx.

Passo 4

Avaliaremos primeiro o termo de fronteira:
\left.\frac{x}{\pi}\sin(\pi x)\right|_{0}^{1} = \frac{1}{\pi}\sin(\pi) - 0 = 0.
Então resta
-\,\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\,dx.

Passo 5

Calculamos
\int_{0}^{1}\sin(\pi x)\,dx = \left.-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right|_{0}^{1} = -\frac{1}{\pi}\bigl(\cos(\pi)-\cos(0)\bigr) = -\frac{1}{\pi}\bigl(-1-1\bigr) = \frac{2}{\pi}.
Multiplicando por -\frac{1}{\pi} vem
-\,\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{\pi} = -\frac{2}{\pi^{2}}.

Resposta

-\frac{2}{\pi^{2}}

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