Estude a continuidade das funções a seguir:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+x y+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a continuidade da função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{x^{2}+x\,y+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos (1) verificar a continuidade em pontos onde a expressão é um quociente de polinômios com denominador não nulo e (2) analisar a continuidade em (0,0) calculando limites por diferentes trajetórias.]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}+x\,y+y^{2}},
que é quociente de polinômios. O denominador
x^{2}+x\,y+y^{2}=(x+\tfrac y2)^{2}+\tfrac34\,y^{2}
só zera em (0,0). Logo em todo ponto (x,y)\neq(0,0) o denominador é não nulo e f é contínua (função racional sem singularidade ali).

Passo 3

Agora estudamos a continuidade em (0,0). Precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y}{x^{2}+x\,y+y^{2}}
existe e vale 0. Tomemos a reta y=k\,x. Então
f(x,kx) =\frac{x\,(k\,x)}{x^{2}+x\,(k\,x)+(k\,x)^{2}} =\frac{k\,x^{2}}{x^{2}(1+k+k^{2})} =\frac{k}{1+k+k^{2}},
independente de x. Ao fazermos x\to0, o valor tende a
\frac{k}{1+k+k^{2}},
que depende de k.

Passo 4

Como ao aproximar por retas diferentes k\neq k' obtemos limites distintos, não há limite único em (0,0). Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
não existe, de modo que f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0) e é descontinua em (0,0).

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