Estude a continuidade das funções a seguir:
f(x, y)=5 x^{3}-x^{2} y^{2},

Passo 1

O enunciado pede para investigar a continuidade da função
f(x,y)=5x^3 - x^2y^2
no plano \mathbb{R}^2. O que precisamos usar é a teoria de continuidade de funções de duas variáveis, em particular a propriedade de que polinômios são funções contínuas.

Passo 2

Lembramos que uma função f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é contínua em um ponto (x_0,y_0) se
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) \;=\; f(x_0,y_0).
Para polinômios em x e y, podemos ver f como combinação de funções elementares (potências, multiplicação e soma).

Passo 3

Sabemos que
  1. A função identidade (x,y)\mapsto x e (x,y)\mapsto y são contínuas em todo \mathbb{R}^2.
  2. Operações de soma, produto e composição de funções contínuas produzem funções contínuas.
  3. As potências x\mapsto x^n e y\mapsto y^m são contínuas.
Logo, x\mapsto 5x^3 e (x,y)\mapsto x^2y^2 são contínuas, e assim a combinação
f(x,y)=5x^3 - x^2y^2
também é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^2.

Resposta

A função f(x,y)=5x^3 - x^2y^2 é contínua em todo \mathbb{R}^2.

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