Além de auxiliar no cálculo de área de regiões sob curvas, as integrais de funções de uma variável real podem ser aplicadas para o cálculo de volume de sólidos de rotação. Assim faz-se necessário a identificação da função a ser integrada e da região de integração. Logo deseja-se determinar o volume da região R delimitada pela curva
y = - x² + 1,y = 0,x = 1,x = - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume da região R que está delimitada pela curva $ y = -x^2 + 1 $, pela linha $ y = 0 $ (que é o eixo x), e pelas linhas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos usar o conceito de integração para calcular o volume do sólido de rotação gerado ao girar essa região em torno do eixo x.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva $ y = -x^2 + 1 $ é uma parábola que abre para baixo, cruzando o eixo y no ponto (0,1). As linhas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $ definem os limites laterais da região, e $ y = 0 $ é o eixo x que forma a base inferior.

Passo 3

Para encontrar o volume desse sólido de rotação, usamos a fórmula do disco, que é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Onde $ f(x) $ é a função que define a curva, e $ a $ e $ b $ são os limites de integração.

Passo 4

No nosso caso, $ f(x) = -x^2 + 1 $, e os limites de integração são de $ x = -1 $ a $ x = 1 $. Então, a fórmula fica:
f(x) = -x^2 + 1

Passo 5

Vamos expandir a expressão $ (-x^2 + 1)^2 $ para simplificar a integração:
(-x^2 + 1)^2
Então, a integral fica:
(-x^2 + 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. integral-1^1 x^4 , dx = [ x^55 ]-1^1 = 15 - (-15) = 25
  2. integral-1^1 -2x^2 , dx = -2 [ x^33 ]-1^1 = -2(13 - (-13)) = -2 cdot 23 = -43
  3. integral-1^1 1 , dx = [ x ]-1^1 = 1 - (-1) = 2

Passo 7

Somando esses resultados:
25 - 43 + 2 = 25 - 43 + 105 = (2 + 105) - 43 = 125 - 43 = 3615 - 2015 = 1615

Passo 8

Então, o volume é:
V = pi cdot 1615 = 1615 pi

Resposta

O volume da região R é $ \frac{16}{15}\pi $ unidades cúbicas.

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