Uma empresa está planejando construir um parque de diversões e quer incluir uma montanha-russa. O percurso da montanha-russa pode ser descrito pela função quadrática h ( x ) = − x 2 + 6 x + 8 h(x)=−x 2 +6x+8, onde h(x) representa a altura em metros e x a distância horizontal em metros. Determine a que distância horizontal a montanha-russa atinge sua altura máxima
Passo 1
Vamos resolver um probleminha onde uma empresa está planejando construir uma montanha-russa e forneceu uma função quadrática que descreve a altura da montanha-russa em função da distância horizontal. O conteúdo que vamos usar aqui são funções quadráticas e parábolas. Precisamos encontrar o ponto onde a montanha-russa alcança sua altura máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que foi dada: $ h(x) = -x^2 + 6x + 8 $. Nessa função, $ h(x) $ representa a altura em metros e $ x $ é a distância horizontal em metros. Essa é uma função quadrática da forma geral $ h(x) = ax^2 + bx + c $, onde:
- $ a = -1 $
- $ b = 6 $
- $ c = 8 $
Passo 3
Sabemos que a parábola formada por essa função abre para baixo porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo ($ a = -1 $). Isso significa que há um ponto de máxima altura na parábola. Para encontrar esse ponto, precisamos encontrar o vértice da parábola.
Passo 4
A fórmula para encontrar a coordenada $ x $ do vértice de uma parábola é:
Vamos substituir os valores de $ a $ e $ b $ na fórmula:
Então, a distância horizontal onde a montanha-russa atinge sua altura máxima é $ 3 $ metros.
Resposta
A montanha-russa atinge sua altura máxima a 3 metros de distância horizontal.