Considere a função f ( x ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4 x , s e 0 ≤ x < 1 x 2 − 7 x + 10 , s e 1 ≤ x ≤ 6 − 4 x + 28 , s e 6 < x ≤ 7 . É correto afirmar que: (Ref.: 202312073220) A função f é decrescente em todos os pontos de seu domínio. A função f é crescente em todos os pontos de seu domínio. A função f é bijetora. O domínio de f ( x ) é o conjunto dos números reais. O conjunto imagem de f é [ − 9 4 , 4 ] .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ f(x) $ definida por partes em três intervalos diferentes:
- $ f(x) = 4x $ para $ 0 \leq x < 1 $
- $ f(x) = x^2 - 7x + 10 $ para $ 1 \leq x \leq 6 $
- $ f(x) = -4x + 28 $ para $ 6 < x \leq 7 $
A pergunta quer saber qual das afirmações sobre essa função está correta. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções: domínio, imagem, função crescente, decrescente e bijetora. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função $ f(x) $. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Olhando a definição:
- A primeira parte vale de $ x = 0 $ até $ x < 1 $
- A segunda parte de $ x = 1 $ até $ x = 6 $
- A terceira parte de $ x > 6 $ até $ x = 7 $
Juntando tudo, o domínio de $ f(x) $ é $ 0 \leq x \leq 7 $, ou seja, todos os números reais entre 0 e 7, inclusos os extremos.
Passo 3
Agora, vamos ver se a imagem da função é realmente
como uma das opções sugere. A imagem é o conjunto de todos os valores que $ f(x) $ pode assumir.
-
Para $ 0 \leq x < 1 $, $ f(x) = 4x $:
- Quando $ x = 0 $, $ f(x) = 0 $
- Quando $ x $ se aproxima de 1, $ f(x) $ se aproxima de 4
-
Para $ 1 \leq x \leq 6 $, $ f(x) = x^2 - 7x + 10 $:
- Vamos calcular os valores nos extremos:
- $ x = 1 $: $ f(1) = 1 - 7 + 10 = 4 $
- $ x = 6 $: $ f(6) = 36 - 42 + 10 = 4 $
- Essa parte da função atinge um mínimo no vértice da parábola. A fórmula do vértice é $ x_v = \frac{7}{2} $, então:
- $ f\left(\frac{7}{2}\right) = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{2}\right) + 10 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 10 = \frac{49 - 98 + 40}{4} = \frac{-9}{4} $
- Vamos calcular os valores nos extremos:
-
Para $ 6 < x \leq 7 $, $ f(x) = -4x + 28 $:
- Quando $ x = 6 $, $ f(6) = -24 + 28 = 4 $
- Quando $ x = 7 $, $ f(7) = -28 + 28 = 0 $
Então, a imagem da função vai de
até 4.
Passo 4
Vamos verificar se a função é crescente ou decrescente em todo o seu domínio.
-
Primeira parte ($ 0 \leq x < 1 $): $ f(x) = 4x $ — Essa é uma função linear com coeficiente positivo (4), o que significa que ela é crescente nesse intervalo.
-
Segunda parte ($ 1 \leq x \leq 6 $): $ f(x) = x^2 - 7x + 10 $ — Essa é uma parábola com coeficiente de $ x^2 $ positivo, então abre para cima. Ela tem um ponto mínimo no vértice ($ x = \frac{7}{2}
1 \leq x < \frac{7}{2} \frac{7}{2} < x \leq 6 $), é crescente. -
Terceira parte ($ 6 < x \leq 7 $): $ f(x) = -4x + 28 $ — Essa é uma função linear com coeficiente negativo (-4), o que significa que ela é decrescente nesse intervalo.
Como a função não é estritamente crescente ou decrescente em todo o domínio, as opções que afirmam que ela é crescente ou decrescente em todos os pontos estão incorretas.
Passo 5
Agora, vamos analisar se a função $ f(x) $ é bijetora. Uma função é bijetora se ela é injetora (cada valor da imagem é atingido por apenas um valor do domínio) e sobrejetora (a imagem cobre todo o contradomínio).
- Observando $ f(x) $, vemos que:
- $ f(1) = 4 $ e $ f(6) = 4 $, ou seja, dois valores diferentes de $ x $ dão o mesmo valor de $ f(x) $. Isso significa que a função não é injetora.
Como a função não é injetora, ela não pode ser bijetora. Portanto, a opção que afirma que a função é bijetora está incorreta.
Resposta
A única afirmação correta é: O conjunto imagem de f é
.