Além do conjuntos
, dos polinômios pares, e
, dos polinômios ímpares, considere também o conjunto
dos polinômios da forma
que só contêm expoentes pares e o conjunto
dos polinômios da forma
, que só contêm expoentes ímpares. Prove que
e
são subespaços vetoriais de espaço
de todos os polinômios, que
,
e
. Conclua que
e
.
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
de todos os polinômios sobre
e define
além dos conjuntos clássicos
Queremos mostrar que
e
são subespaços de
, que
,
, que
e concluir que
e
.
Passo 2
Para
:
1. O polinômio zero é
1. O polinômio zero é
2. Se
então
3. Para
,
Logo
é subespaço de
.
Passo 3
Para
:
1. O polinômio zero também pode ser escrito como , logo
.
2. Se
1. O polinômio zero também pode ser escrito como
2. Se
então
3. Para
,
Assim
é subespaço de
.
Passo 4
Mostramos as inclusões:
Se então
Se
logo
. Se
então
portanto
.
Passo 5
Dada qualquer
, escreva
Temos
. Ao expandir,
só conserva termos de grau par e
só de grau ímpar, logo
Além disso,
, pois se um polinômio é ao mesmo tempo só de graus pares e só de graus ímpares, só pode ser o zero. Assim
Passo 6
Como já sabemos que
e agora
com
,
e dimensões iguais, segue-se que
e
. Alternativamente, pela definição de polinômio par/ímpar, qualquer polinômio em
só tem expoentes pares, forçando
, e já vimos
(idem para
).