Além do conjuntos A, dos polinômios pares, e B, dos polinômios ímpares, considere também o conjunto A^prime dos polinômios da forma p(x)=sum ai x^2 i que só contêm expoentes pares e o conjunto B^prime dos polinômios da forma q(x)=sum ai x^2 i+1, que só contêm expoentes ímpares. Prove que A^prime e B^prime são subespaços vetoriais de espaço P de todos os polinômios, que A^prime subset A, B^prime subset B e P=A^prime oplus B^prime. Conclua que A=A^prime e B=B^prime.

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial P de todos os polinômios sobre R e define
A' = lp(x)=sumi ai x^2ir,
B' = lq(x)=sumi bi x^2i+1r,
além dos conjuntos clássicos
A=pinPmid p(-x)=p(x), B=qinPmid q(-x)=-q(x)
Queremos mostrar que A' e B' são subespaços de P, que A'subset A, B'subset B, que
P=A'oplus B'
e concluir que A=A' e B=B'.

Passo 2

Para A':
1. O polinômio zero é
0(x)=sumi 0cdot x^2iin A'
2. Se
p(x)=sumi ai x^2i, r(x)=sumi ci x^2i,
então
p(x)+r(x)=sumi (ai+ci),x^2iin A'
3. Para lambdainR,
lambda p(x)=sumi (lambda ai),x^2iin A'
Logo A' é subespaço de P.

Passo 3

Para B':
1. O polinômio zero também pode ser escrito como sumi 0cdot x^2i+1, logo 0in B'.
2. Se
q(x)=sumi bi x^2i+1, s(x)=sumi di x^2i+1,
então
q(x)+s(x)=sumi (bi+di),x^2i+1in B'
3. Para lambdainR,
lambda q(x)=sumi (lambda bi),x^2i+1in B'
Assim B' é subespaço de P.

Passo 4

Mostramos as inclusões:
Se pin A' então
p(-x)=sumi ai(-x)^2i=sumi ai x^2i=p(x),
logo A'subset A. Se qin B' então
q(-x)=sumi bi(-x)^2i+1=-sumi bi x^2i+1=-q(x),
portanto B'subset B.

Passo 5

Dada qualquer pinP, escreva
pe(x)=p(x)+p(-x)2, po(x)=p(x)-p(-x)2
Temos p=pe+po. Ao expandir, pe só conserva termos de grau par e po só de grau ímpar, logo
pein A', poin B'
Além disso, A'cap B'=0, pois se um polinômio é ao mesmo tempo só de graus pares e só de graus ímpares, só pode ser o zero. Assim
P=A'oplus B'

Passo 6

Como já sabemos que P=Aoplus B e agora P=A'oplus B' com A'subset A, B'subset B e dimensões iguais, segue-se que A'=A e B'=B. Alternativamente, pela definição de polinômio par/ímpar, qualquer polinômio em A só tem expoentes pares, forçando Asubset A', e já vimos A'subset A (idem para B).

Resposta

A = A', B = B'

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