Prove que o conjunto
das matrizes simétricas e o conjunto
das matrizes anti-simétricas
são subespaços vetoriais de
e que
. Obtenha uma base para
e também uma base para
.
Passo 1
O enunciado fala de
, o espaço de todas as matrizes reais
. Definimos
como o conjunto das matrizes simétricas, e
como o conjunto das matrizes anti-simétricas. Precisamos mostrar que
e
são subespaços vetoriais, que
(em soma direta) e, por fim, encontrar bases de
e de
.
Passo 2
Para
:
- O zero está em
pois . - Se
, então , logo . - Se
e , então , logo .
Portantoé subespaço.
Para
:
-
, logo . - Se
, então , logo . - Se
e , então , logo .
Portantoé subespaço também.
Passo 3
Para ver que todo
se decompõe como soma de um simétrico e um anti-simétrico, definimos
Então
e
, e claramente
Para ver unicidade, note que se
então
e
, daí
e
, logo
. Assim
e
.
Passo 4
Dimensão e base de
. Uma matriz simétrica
satisfaz
. Uma base natural é dada por:
- Para cada
, a matriz (único 1 na posição , zeros nos demais). - Para cada par
, a matriz
Esses vetores são linearmente independentes, e há
deles, que é
.
Passo 5
Dimensão e base de
. Numa matriz anti-simétrica
, vale
e
. Uma base natural é: para cada
, a matriz
Não há elementos na diagonal, e o número de tais matrizes é
que é
.
Resposta
Mostramos que
e
são subespaços, que
pela decomposição
e que
.
Uma base de é
Uma base de
e uma base de
é