Prove que o conjunto S das matrizes simétricas e o conjunto A das matrizes anti-simétricas n times n são subespaços vetoriais de Mn(R) e que Mn(R)=S oplus A. Obtenha uma base para S e também uma base para A.

Passo 1

O enunciado fala de Mn(R), o espaço de todas as matrizes reais ntimes n. Definimos
S=Min Mn(R)mid M^T=M
como o conjunto das matrizes simétricas, e
A=Min Mn(R)mid M^T=-M
como o conjunto das matrizes anti-simétricas. Precisamos mostrar que S e A são subespaços vetoriais, que
Mn(R)=Soplus A
(em soma direta) e, por fim, encontrar bases de S e de A.

Passo 2

Para S:
  1. O zero está em S pois 0^T=0.
  2. Se M,Nin S, então (M+N)^T=M^T+N^T=M+N, logo M+Nin S.
  3. Se lambdainR e Min S, então (lambda M)^T=lambda M^T=lambda M, logo lambda Min S.
    Portanto S é subespaço.
Para A:
  1. 0^T=0=-0, logo 0in A.
  2. Se M,Nin A, então (M+N)^T=M^T+N^T=-M-N=-(M+N), logo M+Nin A.
  3. Se lambdainR e Min A, então (lambda M)^T=lambda M^T=-lambda M, logo lambda Min A.
    Portanto A é subespaço também.

Passo 3

Para ver que todo Min Mn(R) se decompõe como soma de um simétrico e um anti-simétrico, definimos
SM=M+M^T2, AM=M-M^T2
Então SM^T=M^T+M2=SM e AM^T=M^T-M2=-AM, e claramente
M=SM + AM
Para ver unicidade, note que se Xin Scap A então X^T=X e X^T=-X, daí X=-X e 2X=0, logo X=0. Assim Scap A=0 e Mn(R)=Soplus A.

Passo 4

Dimensão e base de S. Uma matriz simétrica M satisfaz mij=mji. Uma base natural é dada por:
  1. Para cada i=1,dots,n, a matriz Eii (único 1 na posição (i,i), zeros nos demais).
  2. Para cada par 1<= i<j<= n, a matriz
Eij+Eji
Esses vetores são linearmente independentes, e há
n + n(n-1)2 = n(n+1)2
deles, que é dim S.

Passo 5

Dimensão e base de A. Numa matriz anti-simétrica M, vale mii=0 e mij=-mji. Uma base natural é: para cada 1<= i<j<= n, a matriz
Eij-Eji
Não há elementos na diagonal, e o número de tais matrizes é
n(n-1)2,
que é dim A.

Resposta

Mostramos que S e A são subespaços, que
Mn(R)=Soplus A
pela decomposição M=(M+M^T)/2 + (M-M^T)/2 e que Scap A=0.
Uma base de S é
,Eii:1<= i<= n,cup, ,Eij+Eji:1<= i<j<= n,
e uma base de A é
,Eij-Eji:1<= i<j<= n

Exercícios relacionados