Assinale
ou
quanto à validade da afirmação: “a união de dois subconjuntos L.I. do espaço vetorial
é ainda um conjunto L.I.”.
(a) Sempre.
(b) Nunca.
(c) Quando um deles é disjunto do outro.
(d) Quando um deles é parte do outro.
(e) Quando um deles é disjunto do subespaço gerado pelo outro.
(f) Quando o número de elementos de um deles mais o número de elementos do outro é igual à dimensão de
.
(a) Sempre.
(b) Nunca.
(c) Quando um deles é disjunto do outro.
(d) Quando um deles é parte do outro.
(e) Quando um deles é disjunto do subespaço gerado pelo outro.
(f) Quando o número de elementos de um deles mais o número de elementos do outro é igual à dimensão de
Passo 1
O enunciado pergunta quando a união de dois subconjuntos
e
de um espaço vetorial
, sabendo que cada um é linearmente independente (L.I.), continua sendo L.I. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto é L.I. se toda combinação linear finita que resulte no vetor zero tem todos os coeficientes nulos.
Passo 2
(a) “Sempre.” Se fosse verdade, toda escolha de
e
L.I. teria
L.I. Mas em
considere
Cada um é L.I., mas
são três vetores em
, logo L.D. Portanto (a) é Falsa.
Passo 3
(b) “Nunca.” Também não procede, pois há casos em que a união é L.I. Em
tome
Ambos são L.I. e
é L.I. Logo (b) é Falsa.
Passo 4
(c) “Quando um deles é disjunto do outro.” Disjunção de elementos não impede dependência, pois podemos ter conjuntos disjuntos cujos elementos ainda fiquem em um plano de dimensão menor. Por exemplo em
cada um é L.I. e são disjuntos, mas
e
é L.D. Logo (c) é Falsa.
Passo 5
(d) “Quando um deles é parte do outro.” Se
então
e como
é L.I. segue que
também é L.I. Portanto (d) é Verdadeira.
Passo 6
(e) “Quando um deles é disjunto do subespaço gerado pelo outro.” Sem perda de generalidade, suponha
Para ver que
é L.I., pegue uma combinação finita
com
,
. Então
Mas o lado esquerdo está em
, e só podem se cruzar no zero, já que
. Logo
e por independência de
segue
. Depois,
dá
. Assim
é L.I. Logo (e) é Verdadeira.
Passo 7
(f) “Quando o número de elementos de um deles mais o número de elementos do outro é igual à dimensão de
.” Mesmo que
, a união pode ser dependente. Em
tenha
Aqui
, mas
e
é L.D. Logo (f) é Falsa.
Resposta
(a) F
(b) F
(c) F
(d) V
(e) V
(f) F
(b) F
(c) F
(d) V
(e) V
(f) F