Assinale V ou F quanto à validade da afirmação: “a união de dois subconjuntos L.I. do espaço vetorial E é ainda um conjunto L.I.”.
(a) Sempre.
(b) Nunca.
(c) Quando um deles é disjunto do outro.
(d) Quando um deles é parte do outro.
(e) Quando um deles é disjunto do subespaço gerado pelo outro.
(f) Quando o número de elementos de um deles mais o número de elementos do outro é igual à dimensão de E.

Passo 1

O enunciado pergunta quando a união de dois subconjuntos A e B de um espaço vetorial E, sabendo que cada um é linearmente independente (L.I.), continua sendo L.I. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto é L.I. se toda combinação linear finita que resulte no vetor zero tem todos os coeficientes nulos.

Passo 2

(a) “Sempre.” Se fosse verdade, toda escolha de A e B L.I. teria Acup B L.I. Mas em R^2 considere
A=(1,0),(1,1), B=(1,1),(0,1)
Cada um é L.I., mas
Acup B=(1,0),(1,1),(0,1)
são três vetores em R^2, logo L.D. Portanto (a) é Falsa.

Passo 3

(b) “Nunca.” Também não procede, pois há casos em que a união é L.I. Em R^2 tome
A=(1,0), B=(0,1)
Ambos são L.I. e
Acup B=(1,0),(0,1)
é L.I. Logo (b) é Falsa.

Passo 4

(c) “Quando um deles é disjunto do outro.” Disjunção de elementos não impede dependência, pois podemos ter conjuntos disjuntos cujos elementos ainda fiquem em um plano de dimensão menor. Por exemplo em R^2
A=(1,0),(1,1), B=(2,0),(3,0),
cada um é L.I. e são disjuntos, mas BsubsetSpan(1,0) e Acup B é L.D. Logo (c) é Falsa.

Passo 5

(d) “Quando um deles é parte do outro.” Se Bsubset A então
Acup B = A,
e como A é L.I. segue que Acup B também é L.I. Portanto (d) é Verdadeira.

Passo 6

(e) “Quando um deles é disjunto do subespaço gerado pelo outro.” Sem perda de generalidade, suponha
B cap Span(A) = emptyset
Para ver que Acup B é L.I., pegue uma combinação finita
sumialphai ai + sumjbetaj bj = 0
com aiin A, bjin B. Então
sumjbetaj bj = -sumialphai aiin Span(A)
Mas o lado esquerdo está em Span(B), e só podem se cruzar no zero, já que BcapSpan(A)=emptyset. Logo sumjbetaj bj=0 e por independência de B segue betaj=0. Depois, sumialphai ai=0 alphai=0. Assim Acup B é L.I. Logo (e) é Verdadeira.

Passo 7

(f) “Quando o número de elementos de um deles mais o número de elementos do outro é igual à dimensão de E.” Mesmo que lvert Arvert+lvert Brvert=dim E, a união pode ser dependente. Em R^2 tenha
A=(1,0), B=(2,0)
Aqui lvert Arvert+lvert Brvert=2=dimR^2, mas BsubsetSpan(A) e Acup B é L.D. Logo (f) é Falsa.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) V
(e) V
(f) F

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