Seja
o conjunto de todas as funções definidas em
e que tomam valores em
. Fixada
, mostre que o conjunto
de todas as funções
tais que
é um subespaço vetorial de
. Para qual função
tem-se
conjunto das funções periódicas de período
? E se fosse
? Ou
?
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial
de todas as funções
. Fixa-se uma função
e considera-se
Queremos mostrar que
é subespaço de
(isto é, fechado sob soma, multiplicação escalar e contém a função zero). Em seguida, identificamos para que
esse
é justamente o conjunto das funções periódicas de período
. Finalmente, analisamos o que ocorre se substituirmos a condição por
ou por
.
Passo 2
Fechamento sob soma. Dados
, temos
Então para a soma
,
logo
.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Defina
. Então
portanto
.
Passo 4
Função zero. A função nula
satisfaz
então
.
Passo 5
Por conter a função zero, e ser fechado sob soma e multiplicação escalar,
é de fato um subespaço de
.
Passo 6
Para obter o conjunto das funções periódicas de período
, basta escolher
Nesse caso a condição
vira
isto é,
é periódica de período
.
Passo 7
Se em vez de
quisermos
, então definimos
Isto significa que cada valor
deve satisfazer
, ou seja a imagem de
está contida em
Logo
Esse conjunto é subespaço de
apenas se for subespaço de
(por exemplo ou
).
Passo 8
Se a condição for
, definimos
Então para todo
da imagem de
vale
, enquanto fora de
pode ser arbitrária. Mas a soma de duas tais funções não satisfaz em geral
Logo
não é subespaço de
.