Seja E=F(R ; R) o conjunto de todas as funções definidas em R e que tomam valores em R. Fixada g: R R, mostre que o conjunto F de todas as funções f: R R tais que f(g(x))=f(x) é um subespaço vetorial de E. Para qual função g tem-se F= conjunto das funções periódicas de período a ? E se fosse g(f(x))=f(x) ? Ou f(g(x))=g(x) ?

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial
E = F(R;R)
de todas as funções fcolonRtoR. Fixa-se uma função gcolonRtoR e considera-se
F = ,fin E mid f(g(x)) = f(x) forall xinR
Queremos mostrar que F é subespaço de E (isto é, fechado sob soma, multiplicação escalar e contém a função zero). Em seguida, identificamos para que g esse F é justamente o conjunto das funções periódicas de período a. Finalmente, analisamos o que ocorre se substituirmos a condição por g(f(x))=f(x) ou por f(g(x))=g(x).

Passo 2

Fechamento sob soma. Dados f1,f2in F, temos
f1(g(x)) = f1(x) e f2(g(x)) = f2(x) forall x
Então para a soma h = f1 + f2,
h(g(x)) = f1(g(x)) + f2(g(x)) = f1(x) + f2(x) = h(x),
logo hin F.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja fin F e lambdainR. Defina h = lambda f. Então
h(g(x)) = lambda,f(g(x)) = lambda,f(x) = h(x),
portanto lambda fin F.

Passo 4

Função zero. A função nula 0(x)=0 satisfaz
0(g(x)) = 0 = 0(x),
então 0in F.

Passo 5

Por conter a função zero, e ser fechado sob soma e multiplicação escalar, F é de fato um subespaço de E.

Passo 6

Para obter o conjunto das funções periódicas de período a, basta escolher
g(x) = x + a
Nesse caso a condição f(g(x))=f(x) vira
f(x+a)=f(x) forall x,
isto é, f é periódica de período a.

Passo 7

Se em vez de quisermos , então definimos
Isto significa que cada valor deve satisfazer , ou seja a imagem de está contida em
Logo
Esse conjunto é subespaço de apenas se for subespaço de (por exemplo ou ).

Passo 8

Se a condição for f(g(x))=g(x), definimos
F'' = ,fcolon f(g(x))=g(x) forall x
Então para todo y da imagem de g vale f(y)=y, enquanto fora de Im(g) f pode ser arbitrária. Mas a soma de duas tais funções não satisfaz em geral
(f1+f2)(g(x)) = f1(g(x))+f2(g(x)) = g(x)+g(x) = 2,g(x)neq g(x)
Logo F'' não é subespaço de E.

Resposta

é subespaço de . Para obtém-se exatamente as funções periódicas de período . Se impostas as condições ou , obtemos conjuntos que só são subespaços em casos triviais (quando é subespaço de no primeiro caso, e nunca no segundo, a menos que ).

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