Além do
, escreva 3 exemplos de espaços vetoriais, deixe claro as operações de soma e multiplicação por escalar nestes conjuntos.
Passo 1
O exercício pede três exemplos de espaços vetoriais diferentes de
, explicando em cada caso como se definem a soma de vetores e a multiplicação por escalar. O conteúdo é a definição de espaço vetorial sobre o corpo
.
Passo 2
O conjunto
de todos os polinômios reais de grau no máximo 2.
– Soma: dados e
, define-se
– Soma: dados
– Multiplicação por escalar: para
,
Verifica-se facilmente que
é fechado nessas operações e satisfaz os axiomas de espaço vetorial.
Passo 3
O conjunto
de todas as matrizes reais com
linhas e
colunas.
– Soma: para e
em
,
– Soma: para
– Multiplicação por escalar: para
,
As operações respeitam fechamento, associatividade, existência de zero e inverso, e distributividade.
Passo 4
O conjunto
de todas as funções reais contínuas no intervalo
.
– Soma: dadas , a função
é
– Soma: dadas
– Multiplicação por escalar: para
,
Como soma e produto por escalar de funções contínuas são contínuos,
é um espaço vetorial.
Resposta
1. O espaço
dos polinômios de grau
, com
2. O espaço
das matrizes
, com
3. O espaço
das funções contínuas em
, com