Além do R^n, escreva 3 exemplos de espaços vetoriais, deixe claro as operações de soma e multiplicação por escalar nestes conjuntos.

Passo 1

O exercício pede três exemplos de espaços vetoriais diferentes de R^n, explicando em cada caso como se definem a soma de vetores e a multiplicação por escalar. O conteúdo é a definição de espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 2

O conjunto P2 de todos os polinômios reais de grau no máximo 2.
– Soma: dados p(x)=a0+a1x+a2x^2 e q(x)=b0+b1x+b2x^2, define-se
(p+q)(x) = l(a0+b0r) + l(a1+b1r)x + l(a2+b2r)x^2
– Multiplicação por escalar: para alphainR,
(alpha,p)(x) = alpha,a0 + alpha,a1,x + alpha,a2,x^2
Verifica-se facilmente que P2 é fechado nessas operações e satisfaz os axiomas de espaço vetorial.

Passo 3

O conjunto Mmtimes n(R) de todas as matrizes reais com m linhas e n colunas.
– Soma: para A=(Aij) e B=(Bij) em Mmtimes n(R),
(A+B)ij = Aij + Bij, 1<= i<= m,;1<= j<= n
– Multiplicação por escalar: para alphainR,
(alpha A)ij = alpha,Aij
As operações respeitam fechamento, associatividade, existência de zero e inverso, e distributividade.

Passo 4

O conjunto C([a,b]) de todas as funções reais contínuas no intervalo [a,b].
– Soma: dadas f,gin C([a,b]), a função f+g é
(f+g)(x) = f(x) + g(x), xin[a,b]
– Multiplicação por escalar: para alphainR,
(alpha f)(x) = alpha,f(x), xin[a,b]
Como soma e produto por escalar de funções contínuas são contínuos, C([a,b]) é um espaço vetorial.

Resposta

1. O espaço P2 dos polinômios de grau <=2, com
(p+q)(x)=p(x)+q(x), (alpha p)(x)=alpha,p(x)
2. O espaço Mmtimes n(R) das matrizes mtimes n, com
(A+B)ij=Aij+Bij, (alpha A)ij=alpha,Aij
3. O espaço C([a,b]) das funções contínuas em [a,b], com
(f+g)(x)=f(x)+g(x), (alpha f)(x)=alpha,f(x)

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